导向滤波算法分析
导向滤波算法分析
本文从数学上推导导向滤波的算法，其算法的具体实现在下一篇介绍。
设引导图G，输入图像P，输出图像Q。导向滤波的目标是使得输入P和输出Q尽可能相同，同时纹理部分和引导图G相似。
为了满足第一个目标，使输入P和输出Q尽可能相似，我们要求最小化平方差
为了满足第二个目标，使输出图像Q的纹理和引导图G的纹理相似，我们要
积分得到
考虑一个小窗口Wk，在Wk内认为a，b保持不变，设为ak，bk。Wk内的像素满足
(1)
把(1)代入第一个目标，使窗口内的像素同时满足上面两个条件。
(2)
其中ε是一个惩罚大的ak的正则化参数。使(2)最小，满足
其中|W|是窗口Wk的像素总数。解得
(3)
(4)
如果设/pk是输入图P在窗口Wk的平均值，μk和σk2是引导图G在窗口Wk的平均值和方差。我们发现
(5)
(6)
其中是引导图G和输入图P在Wk的协方差。
计算出ak，bk后，就可以根据(1)来计算窗口Wk的输出像素。对于一个像素i，输出值qi和所有覆盖像素i的窗口Wk有关。所以当Wk不同，qi的值也不相同。一个简单的策略是平均所有可能的qi值。计算了所有覆盖i的窗口Wk的ak，bk，所有覆盖像素i的窗口Wk的个数为|W|，那么
(7)
(8)
其中，
。
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特别的，当引导图G和输入图像P相同的时候，导向滤波出现边缘保持平滑特性，分析如下。当G=P时，很明显，
，由式(5)(6)得到
，
。当ε=0时，ak=1，bk=0，即输出和输入图像相同。如果ε>0，考虑两种情况。
第一种，高方差。如果图像P在窗口Wk中有很多变化，那么σk2>>ε，有ak≈1，bk≈0。
第二种，平坦块。那么σk2<<ε，有ak≈0，bk≈μk。如果整个输入图像都如窗口Wk似的很平坦的，当ak，bk被平均后得到/ak≈0，/bk≈μk，qi≈μk。
这样，当一个像素在高方差的窗口中时，它的输出值是不变的。在平坦区域中，它的输出值变成周围窗口像素的平均值。具体的，高方差和平坦的标准是由参数ε控制的。如果窗口的方差比此参数小的多则被平滑，那么方差大得多的则被保留。而窗口的大小决定了是参考周围多大范围的像素来计算方差和均值。
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至此，已经可以根据(5)~(8)式计算导向滤波的参数，从而计算输出图像Q。导向滤波的的算法实现在下一篇文章介绍。下面把导向滤波用通用滤波器核来表达进行进一步分析。
导向滤波在像素点i的滤波结果可以表达为一个加权平均
(9)
其中i，j都是像素下标。滤波器核Wij是引导图G的函数并且与P独立。下面计算滤波器核。把(6)带入(8)消去b得到：
(10)
求偏导
(11)
其中
(12)
当j处于窗口Wk时，否则为0。
(13)
把(12)(13)带入(11)得到
即
(14)
考虑含有边缘阶跃信号的图像，如果i，j在边缘的同一侧，(gi-μk)和(gj-μk)符号相同，而当它们在边缘的两侧时则符号不同。所以Wij(G)当两个像素点在边缘的两侧时比在相同边时要小得多。这就说明隔着边缘的时候，pj对结果的贡献很小，窗口像素不会平均到一起。而当j和i在边缘的同侧时，输出像素qi是同侧像素的加权平均值。加权系数由导向图G决定。因此可以看到，导向滤波确实可以起到保留边缘的作用。