[NOI2002] 荒岛野人
Description
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。
每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。
下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。
奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？
Input
第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。
第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。
Output
仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。
Solution
注意到答案不大于 \(10^6\)，考虑从小到大枚举答案。
对于枚举的一个答案 \(ans\)，我们希望对于每个满足 \(c_i+k\times p_i\equiv c_j+k\times p_j\;(mod\;ans)\) 的 \(k\) ,都要 \(k\leq \min(l[i],l[j])\)。
于是可以 \(\mathcal {O(n^2)}\) 的枚举点对判断。
如何判断呢？再推一下式子：
\[c_i+k\times p_i=c_j+k\times p_j+m\times ans\]
\[k\times(p_i-p_j)+m\times ans=c_j-c_i\]
于是式子就愉快的变成了 \(exgcd\) 标准形式。
然后求 \(k\) 就好了。
ps：注意如果无解并不代表不满足情况，反而是满足情况。因为无解就是这俩货这辈子都碰不上面，显然合法。
Code
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define N 20
#define min(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define max(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
int n;
int c[N],p[N],l[N];
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1;y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
signed main(){
scanf("%d",&n);int mx=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);
mx=max(mx,c[i]);
}
for(int ans=mx;;ans++){
bool flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int x,y;
int k=p[i]-p[j]; k=(k%ans+ans)%ans;
int g=exgcd(k,ans,x,y);
if((c[j]-c[i])%g)
continue;
x*=(c[j]-c[i])/g;
int mo=ans/g;
x=(x%mo+mo)%mo;
if(x<=min(l[i],l[j])){
flag=1;
break;
}
}
if(flag)
break;
}
if(flag)
continue;
printf("%d",ans);
return 0;
}
}