不知道为什么网上找不到太多相关的资料，所以写一个小总结，并附有能用的代码。

 

约束RMQ，就是RMQ区间必须满足两项之差最大为1，采用ST表的话，这时候有O(n)建表，O(1)查询的优秀复杂度

求LCA，通过DFS把原树转化为深度序列，就等价于求区间最小值 (取到的位置)

由于DFS的性质，该序列两个数之间显然相差1，所以可以使用约束RMQ解决

先总体概括一下做法：把原序列分块，块内预处理，块间做ST表

分块大小定为L=log(n)/2，这样共分D=n/L块，对这D个数（块内最小值）做正常ST表，建表复杂度O(Dlog(D))=O((n/L)(log(n)-log(L))=O(n)

我们要保证每个步骤都是O(n)的，log(n)/2正好消去了ST建表时的log

但在此之前，我们得处理出块内的最小值，该怎么做呢？一个正常想法就是枚举每个数，一共是O(n)复杂度

但是，这样做虽然留下了每块的最小值以及其取到的位置，若考虑查询块的一个区间，而这个区间恰好取不到最小值，这时候只能暴力枚举，就破坏了查询O(1)了

 

至此我们仍没有使用其±1的特殊性质，现在考虑一下。

块内一共log(n)/2个数，由乘法原理可知，本质不同的块有U=2^(log(n)/2)=n^(1/2)个，我们不妨处理出每个这种块，复杂度Ulog(n)/2，这个函数增长是小于线性的，可以认为是O(n)

这样，处理出每个块内两元素的大小关系，就可以用01唯一表示一个块了，可以用二进制存下来，作为一个块的特征，这一步O(n)

这样有一个好处，即使查询块内一个区间，我们只需要提取这个区间对应的二进制数，就可以在预处理的数组中O(1)查询了

 

查询时，类似分块，边块直接查表，中间部分ST表查询，查询时O(1)的。

 

至此我们完成了O(n)建表，O(1)查询的约束RMQ。

 

同时，对于任何一个序列，可以在O(n)时间内建成一颗笛卡尔树，把查询该序列RMQ转化为求笛卡尔树LCA，就变成O(1)的了。

 

 

解决LCA的代码：

  1. //drunk,fix later
  2. #include<iostream>
  3. #include<cstdio>
  4. #include<cmath>
  5. #define Re register
  6. using namespace std;
  8. const int MAXN=1000005;
  10. inline int rd() {
  11.     int ret=0,f=1;
  12.     char c;
  13.     while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
  14.     while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
  15.     return ret*f;
  16. }
  18. int n,m,st;
  20. struct Edge {
  21.     int next,to;
  22. } e[MAXN<<1];
  23. int ecnt,head[MAXN];
  24. inline void add(int x,int y) {
  25.     e[++ecnt].next = head[x];
  26.     e[ecnt].to = y;
  27.     head[x] = ecnt;
  28. }
  30. int appear[MAXN],elm[MAXN],dep[MAXN],tot;
  31. void dfs(int x,int pre) {
  32.     appear[x]=++tot;
  33.     elm[tot]=x;
  34.     dep[tot]=dep[appear[pre]]+1;
  35.     for(int i=head[x]; i; i=e[i].next) {
  36.         int v=e[i].to;
  37.         if(v==pre) continue;
  38.         dfs(v,x);
  39.         elm[++tot]=x;
  40.         dep[tot]=dep[appear[x]];
  41.     }
  42. }
  44. int blockLen,num,L[MAXN],R[MAXN],bl[MAXN];
  45. int blockTyp[MAXN],f[MAXN][32],g[MAXN][32];
  46. int lookUp[MAXN];
  47. inline int computeType(int x) {
  48.     int sum=0;
  49.     for(Re int i=L[x]; i<=R[x]-1; i++)
  50.         sum<<=1,sum+=(dep[i+1]>dep[i]);
  51.     return sum;
  52. }
  54. inline void calcPos(int x) {
  55.     int len=0,po=0,cnt=0,mn=1<<30,mnid;
  56.     len=blockLen;
  57.     for(Re int i=len; i>=0; i--) {
  58.         po++;
  59.         if((1<<i)&x) cnt++;
  60.         else cnt--;
  61.         if(cnt<mn) mn=cnt,mnid=po;
  62.     }
  63.     lookUp[x]=mnid-1;
  64. }
  66. void build() {
  67.     blockLen=log2(tot)/2;
  68.     num=tot/blockLen;
  69.     if(tot%blockLen) num++;
  70.     for(Re int i=1; i<=num; i++) {
  71.         L[i]=(i-1)*blockLen+1;
  72.         R[i]=i*blockLen;
  73.     }
  74.     for(Re int i=tot+1; i<=R[num]; i++) dep[i]=(1<<30);
  75.     for(Re int i=1; i<=tot; i++)bl[i]=(i-1)/blockLen+1;
  76.     for(Re int i=0; i*i<=tot; i++) calcPos(i);
  77.     for(Re int i=1; i<=num; i++)blockTyp[i]=computeType(i);
  78.     for(Re int i=1; i<=num; i++) g[i][0]=(i-1)*blockLen+lookUp[blockTyp[i]],f[i][0]=dep[g[i][0]]; //offset!
  79.     for(Re int j=1; (1<<j)<=num; j++)
  80.         for(Re int i=1; i<=num; i++) 
  81.             if(f[i][j-1]<f[i+(1<<(j-1))][j-1]) f[i][j]=f[i][j-1],g[i][j]=g[i][j-1];
  82.             else f[i][j]=f[i+(1<<(j-1))][j-1],g[i][j]=g[i+(1<<(j-1))][j-1];
  83. }
  85. inline int inBlockQuery(int x,int y) {
  86.     int u=blockTyp[bl[x]],v=(bl[x]-1)*blockLen+lookUp[u];
  87.     if(x<=v&&v<=y) return v;
  88.     int sav=bl[x];
  89.     x-=L[sav]-1;y-=L[sav]-1;
  90.     u>>=(blockLen-y);
  91.     u&=(~((-1)<<(y-x)));
  92.     return (sav-1)*blockLen+lookUp[u]-(blockLen-y);
  93. }
  95. int query(int x,int y) {
  96.     if(bl[x]==bl[y]) return inBlockQuery(x,y);
  97.     int mn=1<<30,mnid,tmp;
  98.     tmp=inBlockQuery(x,R[bl[x]]);
  99.     if(dep[tmp]<mn) mn=dep[tmp],mnid=tmp;
  100.     tmp=inBlockQuery(L[bl[y]],y);
  101.     if(dep[tmp]<mn) mn=dep[tmp],mnid=tmp;
  102.     int l=bl[x]+1,r=bl[y]-1,len;
  103.     if((r-l+1>0))  len=log2(r-l+1);
  104.     else return mnid;
  105.     if(f[l][len]<mn) mn=f[l][len],mnid=g[l][len];
  106.     if(f[r-(1<<len)+1][len]<mn) mn=f[r-(1<<len)+1][len],mnid=g[r-(1<<len)+1][len];
  107.     return mnid;
  108. }
  110. int main() {
  111.     n=rd();m=rd();st=rd();
  112.     int x,y;
  113.     for(Re int i=1; i<=n-1; i++) {
  114.         x=rd();y=rd();
  115.         add(x,y);add(y,x);
  116.     }
  117.     dfs(st,0);build();
  118.     for(int i=1; i<=m; i++) {
  119.         x=rd();y=rd();
  120.         if(appear[x]>appear[y]) swap(x,y);
  121.         printf("%d\n",elm[query(appear[x],appear[y])]);
  122.     }
  123.     return 0;
  124. }

 

版权声明：本文为ghostcai原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://www.cnblogs.com/ghostcai/p/9280720.html