title: RMQ_第一弹_Sparse Table
date: 2018-09-21 21:33:45
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概述

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)

从英文便可以看出这个算法的主要是询问一个区间内的最值问题，，，

暑假集训的时候学习了 线段树 ，，，

也可以对给定数组查询任意区间的最值问题，，，，

这两个主要的区别就是 线段树 可以进行单点的修改操作，，，而 Sparse Table 算法不能进行点修改，，

或者说这样修改一次重预处理一次不划算，，，

所以说，，要是题目只是单纯的多次查询任意区间的最值，，，Sparse Table 首选，，毕竟，，毕竟写起来比线段树简单得多了，，，

预处理

算法原理

基本思想是dp,,,,

dp的状态 : 对于数组 \(a[1-n]\) , \(F[i , j]\)表示从第 \(i\) 个位置开始 ， 长度 为\(2^j\) 个数这个区间中的最值，，，;

dp的初始值 : \(F[i , 0] = a[i]\);

状态转移方程 : \(F[i , j] = max (F[i , j – 1] , F[i + 2^{j – 1} , j – 1])\);

思想 : \(F[i , j]\) 就是不断取他的左右这两段的最值，，这两段的长度相等，都为 \(2^{j – 1}\) 个元素，，

实现

const int maxn = 5e4 + 10;
int n , q;
int a[maxn];
int mx[maxn][20];
int mi[maxn][20];
void rmq()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        mx[i][0] = mi[i][0] = a[i];

    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j)
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
        {
            mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？
答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],….A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

本段来自某大佬博客

查询

思想

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为 \(j – i + 1\) ,所以我们可以取 \(k=log2( j – i + 1)\) ，则有：\(RMQ(A, i, j)=max(F[i , k], F[ j – 2 ^ k + 1, k])\)。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，\(k = log_2（8 – 2 + 1）= 2\)，即求 \(max(F[2, 2]，F[8 – 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])\)；

实现

int ans(int l , int r)
{
    int k = 0;
    int len = r - l + 1;
    while ((1 << (k + 1)) <= len)
        ++k;

    return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);
}

实战

题目大意: 给定的数列a[1 – n] , 求出[l , r]这个区间内的极差 ， 即最大值与最小值的差

直接套板子，，，，

ac代码:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 5e4 + 10;
int n , q;
int a[maxn];
int mx[maxn][20];
int mi[maxn][20];
void rmq()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        mx[i][0] = mi[i][0] = a[i];

    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j)
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
        {
            mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int ans(int l , int r)
{
    int k = 0;
    int len = r - l + 1;
    while ((1 << (k + 1)) <= len)
        ++k;

    return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);
}
using namespace std;
int main(){ 
    while (scanf("%d%d" , &n , &q) != EOF)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d" , &a[i]);

        rmq();
        
        while (q--)
        {
            int l , r;
            scanf("%d%d" , &l , &r);
            printf("%d\n" , ans(l , r));
        }
    }
    return 0;
}

kuangbin的板子:

一维:

const int MAXN = 50010;
int dp[MAXN][20];
int mm[MAXN];
//初始化 RMQ, b 数组下标从 1 开始，从 0 开始简单修改
void initRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0] = −1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        mm[i] = ((i&(i−1)) == 0)?mm[i−1]+1:mm[i−1];
        dp[i][0] = b[i];
    }
    for(int j = 1; j <= mm[n]; j++)
        for(int i = 1; i + (1<<j) −1 <= n; i++)
            dp[i][j] = max(dp[i][j−1],dp[i+(1<<(j−1))][j−1]);
}
 //查询最大值
int rmq(int x,int y)
{
    int k = mm[y−x+1];
    return max(dp[x][k],dp[y−(1<<k)+1][k]);
}