自然数到底可以表示到多大?
版权申明：本文为博主窗户(Colin Cai)原创，欢迎转帖。如要转贴，必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/9683271.html 作者：窗户 QQ/微信：6679072 E-mail：6679072@qq.com
从很小我们 就知道，自然数有无限多个。
小朋友都对巨大的数有一种天然的憧憬，以至于很多人都会想过这么一个问题，我们可以表示出多大的数？
小的时候，我就幻想着，我拿着一支笔，然后不断的写9，然后所写的这个数就可以非常非常大了。长大一点才知道，这个根本不算什么，随便一个乘方就把它秒杀了。
以下我们来看看递归的神奇。
Ackermann函数
我想几乎每个正统学习计算机的同学都见过Ackermann函数，
Ackermann函数带两个参数，两个参数都是非负整数。
其定义如下：
对于Ackermann(m,n)，
(1) 如果m=0，则函数值为n+1
(2) 如果m>0且n=0,则函数值同Ackermann(m-1,1)
(3) 如果函数m>0且n>0，则函数值同Ackermann(m-1, Ackermann(m, n-1))
这个函数很恐怖，Ackermann(4,0)=13，Ackermann(4,1)=65533, Ackermann(4,2)有 19729 位，Ackermann(4,3)天知道……
运算符号的演化
我们最先学会的运算符号是加法，很快我就学会了相同的数连加。
8个2相加，写起来如下
2+2+2+2+2+2+2+2
显然，连加的写法过于累赘，于是我们又学习了乘法，上述的式子可以写成
2×8
于是顿时简洁了很多。
注：根据不同理解，也有表示为8×2
自然而然，我们想到了连乘，它可以表达挺大的数了。
8个2相乘，写起来如下
2×2×2×2×2×2×2×2
于是有了乘方来简化，上述表示为28
有了乘方，终于有了第一个大杀器。我们可以连着写乘方，以乘方的结果作为后面乘方的指数，如同连加、连乘那样，比如
它运算的结合是从上往下结合，这个数是很夸张的大，这个宇宙不够存储它的十进制下每一位。
高德纳箭头
提起高德纳Knuth，应该计算机界的人都知道吧，我也不用多介绍了。
他以连加、连乘、连乘方为思路基础，提出了高德纳箭头这样的运算符。
a↑b = ab
a↑↑b = a↑a…↑a (一共有b个a)
a↑↑↑b = a↑↑a…↑↑a (一共有b个a)
…
a ↑n b = a ↑n-1 a … ↑n-1 a (一共b个a)
↑n 我这里表示为n个箭头。
之前提到的
用高德纳箭头表示应该是2↑↑6
这个数箭头只有2个，前后数字都很小，但是已经非常可怕的大了。
葛立恒数
这是曾经出现在数学证明中最大的自然数，不过后面被另外一个数学证明中的TREE(3)刷新纪录。这两个数都与图的染色有关，此处不深入。
葛立恒数是如下表示的：
g(0) = 4
g(1) = 3 ↑g(0) 3
g(2) = 3 ↑g(1) 3
…
g(64) = 3 ↑g(63) 3
g(64)就是葛立恒数，这个数是夸张的大，别说数本身，就连它的箭头的个数g(63)，人们也无法理解它的大小。
其实就连g(1)，人们已经无法理解其大小，甚至理解不了g(1)的大小的大小的大小的……大小。
Scheme来表示高德纳箭头
因为高德纳箭头的高阶箭头有个很简单的往低阶箭头上展开的关系，所以用Scheme很容易表示，毕竟Lisp是很容易表示递归的。
(define (knuth n m cnt_arrow) (define (knuth-list lst cnt_arrow) (cond ((null? (cdr lst)) (car lst)) ((= 1 cnt_arrow) (knuth-list (cons (expt (cadr lst) (car lst)) (cddr lst)) 1)) (else (knuth-list (cons (knuth-list (make-list (car lst) (cadr lst)) (- cnt_arrow 1)) (cddr lst)) cnt_arrow)) ) ) (knuth-list (list m n) cnt_arrow) )
当然，上面只是表示出了其递归关系，在现有宇宙下计算不出来^_^比如之前那6个2我们肯定就算不出来，但是5个2也就是2↑↑5我们还是有希望的。
(knuth 2 5 2)计算结果就不贴了，是一个 19729 位的数，其实等于Ackermann(4,3)+3。
而之前葛立恒数虽然根本算不出来，但用Scheme表示还是很容易的。
(define Graham-Number (define (g n) (if (zero? n) 4 (knuth 3 3 (g (- n 1))) ) ) (g 64) )
康威链式箭头
Conway，著名的生命游戏的提出者，英国数学家。
他发明的康威链式箭头是个比高德纳箭头还恐怖的东西。
所谓链式箭头，是一串用箭头串在一起的正整数，比如
3->5
2->3->2
3->4->5->6
当然，只有一个数也算，那么值就是数本身。链长至少为1。
另外，康威链式箭头和高德纳箭头不一样，高德纳箭头是运算符，康威链式箭头只是用来连接一个序列。
康威链式箭头怎么计算呢？
它一共有5条规则，
(1) 如果链里面只有一个数a，那么值就是a本身
(2) 如果链里面有两个数，a->b，那么值为ab
(3) 如果链长超过2，链形如X->a->1，其中X是一条链，那么原链就等于X->a，也就是链长减1
(4) 如果链长超过2，链形如X->1->(a+1)，其中X是一条链，a是正整数（也就是最后一个数大于1，其实等于1也满足，只是同时满足两条规则），原链值同链X
(5) 如果链长超过2，链形如X->(a+1)->(b+1)，其中X是一条链，a、b是正整数（也就是链尾的两个数都大于1），原链值同X->(X->a->(b+1))->a
以上5条规则构造出了比高德纳箭头更疯狂的东西。
疯狂在哪里呢？之前的葛立恒数g(64)已经很大了，可是以下不等式成立
3->3->64->2 < g(64) < 3->3->65->2
3->3->65->2 < 3->3->3->3
简单的4个3，秒天秒地
以上递归很明显，很工整，用Scheme一样表示，链式箭头的序列就用Scheme里的list直接就可以表示了：
(define (conway lst) (define (conway_rev lst) (cond ((null? (cdr lst)) (car lst)) ;规则1 ((null? (cddr lst)) (expt (cadr lst) (car lst))) ;规则2 ((= 1 (car lst)) (conway_rev (cdr lst))) ；规则3 ((= 1 (cadr lst)) (conway_rev (cddr lst))) ;规则4 (else (conway_rev (cons (- (car lst) 1) (cons (conway (cons (car lst) (cons (- (cadr lst) 1) (cddr lst)))) (cddr lst))))) ;规则5 ) ) (conway_rev (reverse lst)) )
于是，刚才秒天秒地的3->3->3->3就是(conway ‘(3 3 3 3))