循序渐进学习时间复杂度
一、浅谈算法
学习软件开发这么多年，常常听到程序=数据结构+算法，但是很多人对这句话提出质疑，因为实际项目开发的时候大部分人是做螺丝钉的角色，而且大部分甘于做螺丝钉的角色，就会认为实际项目，只是完成业务开发而已，去哪都是增删改查，数据结构根本用不到。我认为，算法和基本的数据结构是非常重要的，对于一个合格的程序猿来说，有时候我们没有涉及到，只是别人把需要的事情都给我们做了，比如的java版本的hashmap，采用红黑树的结构，提高了更多效率，软件开发高速发展的同时，编程的门槛也会越来越低，只有了解了最本质的才会不被技术淘汰。
算法的五大特性：
1.有穷性：不是数学，算法比较合理，每一步在规定时间内进行
2.确定性：每一条指令都有一个明确的含义
3.可行性：算法可以执行
4.输入0或者多个
5.输出 只有一个
算法设计的四大要求：
1.正确性
2.可读性
3.健壮性：容错能力，输入数据非法的时候，不会产生的输出结果
边界问题 （数组的长度的判断，非法字段，树Root是否为空）
4.效率和存储
注：1.研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确定位执行多少次
2. 不关心编译语言，不关心机器
所以我们应该用什么方式进行算法的度量方式呢？接下来我们聊聊时间复杂度
二、时间复杂度
1.概述
我们知道程序的效率可以称之为程序的时间复杂度，通俗点说就是算法执行的时间，所以将算法中基本操作的执行次数作为算法时间复杂度的度量。
比如：如何求1+2+….. n的结果
第一种：O（n）
int sum=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}第二种：O(1)
int i=0;
int sum=0;
sum =(1+n)*n/2;上述的例子可以说明如果不同的策略对待同一个需求而已，时间复杂度是不一样的，算法的优化，时间复杂度越低也是算法优化的目的之一。
时间复杂度：算法中基本语句重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n),算法的时间量度记作：\(T(n)=O(f(n))\)表示随着n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率相同，称渐近时间复杂度。
函数的渐进增长：给定两个函数，f(n).g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐进快于g(n)
上面讨论的时间复杂度是官方解释，仔细可以看时间复杂度可以表示渐进函数的抽象形式即可。
2.时间复杂度的记法：
1.大O记号 （常用）
假设\(f(n)和g(n)\)的定义域是非负整数，存在两个正整数c和n0，使得n>n0的时候，\(f(n)≤c*g(n)\),则\(f(n)=O(g(n))\)。可见\(O(g(n))\)可以表示算法运行时间的上界。\(O(g(n))\)表示的函数集合的函数是阶数不超过\(g(n)\)的函数。
例如：\(f(n)=2*n+2=O(n)\)
证明：
\(当n>3的时候，2*n +2<3n，所以可选n0=3,c=3，则n>n0的时候，f(n)<c*(n)，所以f(n)=O(n)。\)
现在再证明\(f(n)=2*n+2=O(n^2)\)
证明：\(当n>2的时候，2*n+2<2*n^2，所以可选n0=2,c=2,则n>n0的时候，f(n)<c*(n^2)，所以f(n)=O(n^2)。\)
同理可证\(f(n)=O(n^a)\)，a>1
2.Ω记号
\(f(n) > c*g(n)\)
Ω记号与大O记号相反，他可以表示算法运行时间的下界。\(Ω（g（n））\)表示的函数集合的函数是所有阶数超过g(n)的函数。
例如：\(f(n)=2*n^2+3*n+2=Ω(n^2)\)
证明：\(当n>4的时候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可选n0=4,c=1,则n>n0的时候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。\)
同理可证\(f(n)=Ω(n),f(n)=Ω(1)\)
3.Θ记号
Θ记号介于大O记号和Ω记号之间。他表示，存在正常数c1,c2,n0，当n>n0的时候，\(c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)\)，则f\((n)=Θ(g(n))\)。他表示所有阶数与g(n)相同的函数集合。
4.小o记号
\(f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))\)。也就是说小o记号可以表示时间复杂度的上界，但是一定不等于下界。
5.例子
假设f(n)=2n^2+3n+5，
则f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……
f(n)=Ω(n^2)或者f(n)=Ω(n)或者f(n)=Ω(1)
f(n)=Θ(n^2)
f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……
3.时间复杂度类型
1.常数阶
如上面的例子可以知道，执行次数是常数，可以定为O(1)
int i=0;
int sum=0;
sum =(1+n)*n/2;2.线性阶
如上述的例子可以知道，单次循环n，定为O(n)
int sum=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}3.对数阶
下面代码就表示是\(O(logn)\)
while (left <= right) {
int mid = (left - right) / 2 + right;
if (target == nums[mid]) {
return mid;
} else if (target > nums[mid]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}4.函数调用
main方法调用外部方法，两个方法都是一层循环，则\(O(n^2)\)
int main(int argc, char *argv[])
{
for(int i=0;i<n;i++){
fun(n);
}
}
void fun(int count){
for(int i=0;i<count;i++){
printf();
}
}常见时间复杂度的比较：
\(O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)…<O(n!)<O(nn)\)
4. 时间复杂度的计算
1.计算规则
1） 加法规则
\(T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) \)
2) 乘法规则
\(T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)) \)
\(O(n)*O(m)=O(n*m)\)
3)一个特例
在大O表示法里面有\(T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )\). 一个特例，如果\(T1(n) ＝ O(cf(n))\)， c是一个与n无关的任意常数，$T2(n) = O ( f(n) ) $则有
总结：
1.用常数1取代所有的加法常数 t(n)=5 O(1)
- 修改后的函数中，只保留最高阶数
3.如果最高阶数的常数部分存在不是1，变成1。
比如：
\(T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。 T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)\)。
2.主定理
在算法分析中，主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。这种方法最初由Jon Bentlery，Dorothea Haken和James B. Saxe在1980年提出，在那里被描述为解决这种递推的“天下无敌法”(master method)。此方法经由经典算法教科书Cormen，Leiserson，Rivest和Stein的《算法导论》 (introduction to algorithm) 推广而为人熟知
解释： 上面的主定理就是根据递归式，我们需要找到它的时间复杂度，这里为了不区别其他的表示法，全部记为大O表示法，
例子1:
假设问题规模为N，某一个递归算法的时间程度记T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = T(N/2) + N,求用O表示该算法的时间复杂度？
分析：直接套用公式可知，a = 1， b = 2 ,f(n) = N , 主定理主要和\(n^{\log_b a}\)做比较，带入可得 \(n^{\log_b a}= 1\) 。
所以f（n）> \(n^{\log_b a}\) ,符合条件三，所以T（n） = O(n)。
例子2:
假设问题规模为N，某一个递归算法的时间程度记T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = 2T(N/2) + N/2,求用O表示该算法的时间复杂度？
分析：直接套用公式可知，a = 2， b = 2 ,f(n) = N/2 , 主定理主要和\(n^{\log_b a}\)做比较，带入可得 \(n^{\log_b a}= n\) 。
这里需要注意，f（n）和\(n^{\log_b a}\)做比较 ，比较的是它们的渐近增长率，所以f（n）= \(n^{\log_b a}\) ,符合条件二，都是一次函数，所以T（n） = O(nlogn)。
例子3:
求下面代码的时间复杂度：
void Hanoi(int n, char a, char b, char c)//a为原始柱，b为借助柱,c为目标柱
{
if (n == 1)
{
Move(a, c);//只有一个盘子时直接移
}
else
{
Hanoi(n - 1, a, c, b);//将A柱子上n-1个盘子借助C柱子移到B上
Move(a, c);//将A最后一个盘子移到C上
Hanoi(n - 1, b, a, c);//将B柱子借助空A柱子移到C上
}
}分析：我们可以看出，用递归来解决汉诺塔问题是非常方便的选择，最后我们来分析一下汉诺塔问题的时间复杂度。
设盘子个数为n时，需要T（n)步，把A柱子n-1个盘子移到B柱子，需要T（n-1)步，A柱子最后一个盘子移到C柱子一步，B柱子上n-1个盘子移到C柱子上T（n-1)步。 得递推公式T（n）=2T（n-1)+1 。这个递推式子不符合主定理，所以需要运用高中的基础数学知识，
由递推式可以知道，凑方法，凑成等比数列，凑成通项公式 \(O（2^n）\)
例子4:
假设问题规模为N，某一个递归算法的时间程度记T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = T(N- 1) + N,求用O表示该算法的时间复杂度？
分析：首先要看主定理的限定的条件，b > 1 才可以执行这个主定理，这里需要\(T(N) = T(N- 1) + N 变成 T(N) – T(N- 1) = N。 可以T（1） ，T（2） …. T(N) 叠加后可以算出T（N）的通项公式。 可以计算O（n^2）\)
三、空间复杂度
类比于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度是指该算法所耗费的存储空间，计算公式计作：S(n) = O(f(n))。其中 n 也为数据的规模，f(n) 在这里指的是 n 所占存储空间的函数。一般情况下，我们的程序在机器上运行时，刨去需要存储程序本身的输入数据等之外，还需要存储对数据操作的「存储单元」。如果输入数据所占空间和算法无关，只取决于问题本身，那么只需要分析算法在实现过程中所占的「辅助单元」即可。如果所需的辅助单元是个常数，那么空间复杂度就是 O(1)。
吐槽：
我被博客园的markdown的编辑器弄疯了，花了我好长时间，我只是想排版好看一点，就用数学公式进行，而不是用图片的方式，结果博客园不支持$$ 解析，当然官方博客也给了解决方案，但是没用好吗？对于不是整段的数学公式是不起作用的 ，https://www.cnblogs.com/cmt/p/markdown-latex.html
正确做法：加入这个放入文章内 ，MathJax可以解析Latex、MathML和ASCIIMathML的标记语言，就可以用$ 解析了，使用就是正常的。
参考：
https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a
https://blog.csdn.net/qq_33274645/article/details/52688025
https://mp.weixin.qq.com/s/9njtnqfAatjmjPh4geETqA