1. 之前的探讨都是局限在投资选项只有两个：asset a 和 asset b。但是当投资选项变多，比如面对100支股票时，我们需要计算的参数就会变的特别多：

  • 100 个expected returns
  • 100 个standard deviations
  • 100(100-1)/2=4950 个 correlations

总共需要计算5150个参数，很明显我们需要一个新的模型来简化计算

 

2.

 

 

其中 Rm是整个市场的expected return。 这样对每一支股票来说，基于我们对市场协方差的假定，我们就能得到每对股票之间的协方差

 

所以现在我们需要计算的parameter数量变为：

  • N alpha
  • N betsa
  • N variance of the residual term(ei)
  • one expected return of the market
  • one variance of the market

=> 3N + 2

对应之前的100支股票的例子，现在我们只需要算302个

 

3. 关于beta:

结合之前的公式，beta在下图中对应的linear regression 的斜率

eit = Rit – alphai – betaiRmt

需要注意的是，因为我们使用了历史记录来计算beta，beta可能会随时间改变的

measure the tendency to meanrevert(Blume)

 

 对于beta的其他调整：

  • adjust each beta toward the average beta (ML)

  • adjustments toward average and consider the uncertainty (sampling error – Vasicek method):

整体来说：high beta stocks have larger standard errors, i.e. are lowered more in % than low beta stocks raised.

 

 

对于采用不同beta的评估：

使用基于historical returns 的beta：

  • Pro: measure the response of the stock to market movements
  • Con: change in a fundamental characteristic of the firm is only slowly incorporated in the estimate.

使用fundamental betas:

  • Pro: quick reaction
  • Con: assumption that all companies react in the same way to the same characteristic

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