一个简洁的小H车调运模型
一个简洁的小H车调运模型
不久前, 帝都B城市到处都是小H车, 理想的小H车应该是布朗运动\均匀分布，可是现实上它们就是不均匀。于是有如下问题：
观察帝都 HD区SY村区域，将其划分成10个用车点，用大数据回归预测出第二天（周一）的用车数据如下，夜晚开始调运，务必满足第二天的需求，极小化调运总里程。
| 数据项 | 符号 | 用车点 | |||||||||
| 地区 | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| X-坐标 | X[i] | 0 | 200 | 155 | 70 | 90 | 45 | 88 | 44 | 60 | 111 |
| Y-坐标 | Y[i] | 0 | 200 | 30 | 120 | 199 | 210 | 21 | 188 | 70 | -22 |
| 夜晚有车数 | P[i] | 114 | 223 | 213 | 234 | 56 | 777 | 5 | 30 | 321 | 222 |
| 第二天需求数 | R[i] | 110 | 345 | 110 | 333 | 407 | 233 | 100 | 100 | 333 | 123 |
调运车辆走的是城市距离，B城市交通道路复杂，假设城市距离是地点之间直线距离的1.56倍。为简化起见，上面的数据刻意地使得又车总数和需求总数相等。
建模
小H车问题看似复杂，其实模型十分简单。不过五分钟内写出并测试模型，需要你：第一、熟悉混合整数规划建模，有建模经验；第二、 有一个好用的建模语言。这里用+Leapms建模语言。
用x[i][j]表示从i到j的运车数量，于是目标是极小化总的调运量，即：
minimize sum{i=1,…,n; j=1,…,n; i<>j} x[i][j] D[i][j] // （1）
上面的 D[i][j]=1.56 sqrt((X[i]-X[j])^2 + (Y[i]-Y[j])^2) 是i,j之间的城市距离。
对用车点 i，夜晚保有车数 P[i] 加上调入进来的车数 sum{*}x[*][i], 减去调出的车数sum{*}x[i][*] 应该大于第二天的需求R[i]， 即：
P[i]+sum{j=1,…,10;j<>i}x[j][i]-sum{j=1,…,10;j<>i}x[i][j]>=R[i] | i=1,…,n
当然，上式子可以简化，即只有有车数 P[j]>R[j] 时才可以调出, ..
P[i]+sum{j=1,…,10;j<>i;P[j]>R[j]}x[j][i]-sum{j=1,…,10;j<>i;P[i]>R[i]}x[i][j]>=R[i] | i=1,…,n //(2)
由（1），（2）就完成了对问题的建模。
试求解
完整模型需要补充对符号的说明（where段）和数据段（data和data_relation), 其中的data是原始数据段，data_relation是在原始数据基础上的导出数据（方便模型表达），例如D[i][j]就是由坐标数据X和Y导出的。
在+Leapms环境中，用load命令调入并解析，随后使用mip命令（混合整数规划求解命令）就得到求解结果，过程如下（其中可见到带行号的完整模型）：
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
LittleYlwBike.leap
.........
please input the filename:littleylwbike
================================================================
1: minimize -->
2: sum{i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j;P[i]>=R[i]}-->
3: D[i][j]x[i][j] //(1)
4:
5: Subject to
6:
7: P[i]+sum{j=1,...,n;j<>i;P[j]>R[j]}x[j][i]-->
8: -sum{j=1,...,10;j<>i;P[i]>R[i]}x[i][j]-->
9: >=R[i] | i=1,...,10 //(2)
10:
11: where
12:
13: n is a number
14: X,Y,R,P are sets
15:
16: x[i][j] is a variable of nonnegative integer-->
17: | i=1,...,10;j=1,...,n;i<>j;P[i]>=R[i]
18:
19: D[i][j] is a number | i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
20:
21: data
22:
23: X={0 200 155 70 90 45 88 44 60 111}
24: Y={0 200 30 120 199 210 21 188 70 -22}
25: P={114 223 213 234 56 777 5 30 321 222}
26: R={110 345 110 333 407 233 100 100 333 123}
27:
28: data_relation
29:
30: n=_$(X)
31:
32: D[i][j]=1.56*(sqrt((X[i]-X[j])^2+(Y[i]-Y[j])^2))-->
33: | i=1,...,n;j=1,...,n
34:
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=36
number of constraints=10
..................................
+Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到线性规划最优解.非零变量值和最优目标值如下：
.........
x1_9*=4
x3_2*=98
x3_9*=5
x6_2*=24
x6_4*=99
x6_5*=351
x6_8*=70
x10_7*=95
x10_9*=3
.........
Objective*=83995
.........
+Leapms>
从结果上看，第6用车点调出的车辆最多。
其他
B城市很大，当问题规模扩大后模型是否还可用。我认为是可用的，本题是一个网络流模型，可解的规模很大。另外模型在真实应用时可以做很多改进，例如采用嵌套结构、剔出距离D[i][j]大于某数量的变量（谁也不会傻到从B城东北角向最西南角凋车的地步），等等。
小H车遭遇低谷，已成陌路黄瓜。所以“神马都是浮云，只有运筹永存：）”。