Description

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每次询问保留图中编号在 \([l,r]\) 的边的时候图中联通块个数。强制在线。

\(n,m\leq 2\cdot 10^5\)

Solution

先考虑一下假如可以离线的话怎么做。

把询问按照右端点排序，维护边权 最大生成树，这里的”边权”指的是边的标号。

每次尝试加边，如果这条边连接的两条边不连通就直接加，否则从环上找一条边权最小的边替换，然后用线段树维护当前用了哪条边，如果要加入就对应位置 \(+1\)，要删除就对应位置 \(-1\) 。维护生成树的过程用 \(LCT\) 实现。这样对于询问 \([l,r]\) 就查一下在线段树上 \([l,r]\) 的权值和 \(sum\) 表示当前在图上用到了 \(sum\) 条边，\(n-sum\) 即为答案。

然后考虑在线做法。

把线段树换成主席树就好了。

大概扫了一下网上的题解好像做法都是搞出来一个 \(ntr[i]\) 表示加入第 \(i\) 条边的时候替换掉了哪条边，如果没有替换掉边则值为 \(0\)。然后每次询问的时候找主席树 \([0,l-1]\) 的 \(sum\) 就好了。。。然而我并不能想明白为什么是这样，只能用我那种有加有减的做法了…

Code

#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
const int N=4e5+5;
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]

int ch[N][2],fa[N],mn[N],stk[N],father[N];
int n,m,k,type,val[N],idx[N],rev[N],top,rt[N];

struct Edge{
    int x,y;
}edge[N];

void pushup(int x){
    mn[x]=min(mn[ls],min(mn[rs],val[x]));
}

void pushr(int x){
    swap(ls,rs);rev[x]^=1;
}

void pushdown(int x){
    if(rev[x]) pushr(ls),pushr(rs),rev[x]=0;
}

bool nroot(int x){
    return ch[fa[x]][0]==x or ch[fa[x]][1]==x;
}

int find(int x){
    return father[x]==x?x:father[x]=find(father[x]);
}

void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],d=ch[y][1]==x,dd=ch[z][1]==y;
    ch[y][d]=ch[x][d^1];if(ch[x][d^1]) fa[ch[x][d^1]]=y;
    fa[x]=z;if(nroot(y)) ch[z][dd]=x;
    ch[x][d^1]=y;fa[y]=x;pushup(y);
}

void splay(int x){
    int now=x;stk[++top]=now;
    while(nroot(now)) now=fa[now],stk[++top]=now;
    while(top) pushdown(stk[top--]);
    while(nroot(x)){
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(nroot(y)) rotate((ch[y][1]==x)^(ch[z][1]==y)?x:y);
        rotate(x);
    } pushup(x);
}

void access(int x){
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
        splay(x),rs=y;pushup(x);
}

void makeroot(int x){
    access(x),splay(x),pushr(x);
}

void link(int x,int y){
    makeroot(x);fa[x]=y;
}

void cut(int x,int y){
    makeroot(x),access(y),splay(y);
    fa[x]=ch[y][0]=0;pushup(y);
}

void split(int x,int y){
    makeroot(x),access(y),splay(y);
}

int getint(){
    int X=0,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
    if(w) return -X;return X;
}

namespace hjt{
    int tot,ch[N*40][2],sum[N*40];

    void update(int &x,int las,int l,int r,int ql,int qr,int c){
        x=++tot;
        sum[x]=sum[las]+c;ls=ch[las][0];rs=ch[las][1];
        if(l==r) return;
        int mid=l+r>>1;
        ql<=mid?update(ls,ch[las][0],l,mid,ql,qr,c):update(rs,ch[las][1],mid+1,r,ql,qr,c);
    }

    int query(int las,int x,int l,int r,int ql,int qr){
        if(ql<=l and r<=qr) return sum[x]-sum[las];
        int mid=l+r>>1,ans=0;
        if(ql<=mid) ans+=query(ch[las][0],ls,l,mid,ql,qr);
        if(mid<qr) ans+=query(ch[las][1],rs,mid+1,r,ql,qr);
        return ans;
    }

};

signed main(){
    mn[0]=1e9;
    n=getint(),m=getint(),k=getint(),type=getint();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=getint(),y=getint();
        edge[i]=(Edge){x,y};val[i+n]=i;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) father[i]=i,val[i]=1e9;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        rt[i]=rt[i-1];
        int r1=find(edge[i].x),r2=find(edge[i].y);
        if(r1!=r2){
            hjt::update(rt[i],rt[i],0,m,i,i,1); 
            father[r1]=r2;
        } else{
            if(edge[i].x==edge[i].y) continue;
            split(edge[i].x,edge[i].y);
            int xx=mn[edge[i].y];
            hjt::update(rt[i],rt[i],0,m,xx,xx,-1);
            hjt::update(rt[i],rt[i],0,m,i,i,1);
            cut(edge[xx].x,xx+n),cut(edge[xx].y,xx+n);
        }
        link(edge[i].x,i+n),link(edge[i].y,i+n);
    } int lasans=0;
    while(k--){
        int l=getint(),r=getint();
        if(type) l^=lasans,r^=lasans;
        int p=hjt::query(rt[l-1],rt[r],0,m,l,r);
        printf("%d\n",lasans=n-p);
    } return 0;
}