[总结] 圆方树学习笔记
圆方树
分为圆方树和广义圆方树。前者处理仙人掌，后者处理一般无向图。
只学了后一个。
广义圆方树
在无向图中进行\(\mathrm{Tarjan}\)，对于每个点双构建一个方点，方点向点双中的所有点连边。
这就建好了一张新图。
对于一般的题，可以在圆点上维护这个点的信息，方点上维护这个点双的信息。这样就可以支持一些对无向图路径的操作了。
贴一张网上找来的图
观察一些性质：
- 圆点只能和方点相邻，同样的，方点只和圆点相邻。
- 如果两个方点有公共相邻的圆点，那这个圆点就是这两个方点代表的点双的割点。
- 还有很多但是我找不到了…
例题
[APIO2018] 铁人两项
Description
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，请求出三元组 \((s,c,f)\) 的个数，使得存在一条从 \(s\) 到 \(f\) 经过点 \(c\) 的简单路径。\(n,m\leq 2\cdot 10^5\)。
Sol
先求出圆方树。
考虑枚举 \(s,f\)，那么合法的 \(c\) 个数就是 \(s\) 到 \(f\) 间的点双的点数和减去 \(s,f\) 这两个点。
设方点权值为点双的点数，圆点的权值为 \(-1\)。
那 \(c\) 的数量就是 \(s,f\) 两点之间的点权和。
考虑枚举中点 \(c\)，那点 \(c\) 的贡献就是经过 \(c\) 的路径数目*它的权值。
树形\(\mathrm{DP}\)即可
[CF487E] Tourists
Description
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向联通图，每个点有权值 \(w_i\)。要求支持：带修改，求两点之间所有路径上的最小权值。
Sol
如果不带修改怎么办？
还是求出圆方树。
把方点的点权设为点双中的最小权值，圆点权值即为本身的权值。
问题就变成了询问链上最小值。树剖即可。
加上修改呢？
如果还按照刚才的方法维护，假设一个点是割点，同时属于很多点双，那么在修改这个点的权值时，会顺便修改与它相连的所有方点的权值。如果这是个菊花图就卡掉了。
考虑一种套路，就是让每个点维护的信息少一点点，然后修改的复杂度就不那么大了，例子就是用\(\mathrm{lct}\)做\(\mathrm{Qtree6}\)。
这里也可以这样做，具体是让每个方点的权值不包含它的父亲（它的父亲肯定是圆点以及肯定在这个点双中），也就是说每个圆点的值只对圆方树上它的父亲有贡献。这样如果修改一个点的复杂度就降下来了。
那再回来考虑询问因为少维护了一些信息会出什么\(\mathrm{bug}\)，发现就是当\(\mathrm{lca}\)为方点时，会少算这个方点的父亲的点权，特判一下就好了。
所以拿圆方树+树剖+\(\mathrm{mutiset}\)就可以解决本题了。