线段树 Segment Tree

今天来讲一下经典的线段树。

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

简单的说，线段树是一种基于分治思想的数据结构，用来维护序列的区间特殊值，相对于树状数组，线段树可以做到更加通用，解决更多的区间问题。

性质

• 1.线段树的每一个节点都代表了一个区间
• 2.线段树是一棵二叉树，具有唯一的根节点，其中，根节点代表的是整个区间\([1,n]\)
• 3.线段树的每一个叶节点代表的是长度为\(1\)的元区间\([x,x]\)
• 4.对于每一个节点\([l,r]\)，它的左儿子被定义为\([l,mid]\)，右儿子被定义为\([mid+1,r]\)

如图，这就是一棵维护了区间\([1,10]\)的线段树。

我们还可以发现，线段树层数为\(log_2n\)层，除去最后一层，线段树是一棵完全二叉树。

建树 (build)

我们来考虑一下如何储存并建立一棵线段树。

由于线段树是二叉树，所以我们可以直接用数组存储结点的编号，即对于节点\(x\)储存在\(a[p]\)处，我们令\(x\)的左儿子储存在\(a[p*2]\)处，右儿子储存在\(a[p*2+1]\)处，这样就可以快速地找到节点之间的父子关系。

理想状态下，\(n\)个叶节点的满二叉树有\((\sum_{i=0}^{2^i=n}2^i)=2n-1\)个节点，但由于最后一层至多还可能有\(2n\)个节点，所以数组空间要开到\(4n\)大小。

我们先来看一个维护区间最大值的例子。

对于线段树的每一个节点，我们可以额外的设置一个变量\(Max\)代表该节点所代表区间中的最大值，显然有:\(Max(p)=\max(Max(p*2),Max(p*2+1))\)，那么我们可以用如下方法建树。

\(Code:\)

struct SegmentTree
{
    int p,l,r,Max;
    #define l(x) tree[x].l
    #define r(x) tree[x].r
    #define p(x) tree[x].p
    #define Max(x) tree[x].Max
}tree[N*4];
inline void build(int p,int l,int r)//对于节点p，代表的区间为[l,r]
{
    l(p)=l,r(p)=r;//左右边界赋值
    if(l==r){Max(p)=0;return;}//如果为叶节点，直接赋值为权值
    int mid=(l+r)/2;
    //递归构建子树
    build(p*2,l,mid);
    build(p*2+1,mid+1,r);
    Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));//回溯更新最大值
}

修改 (modify)

线段树支持节点的动态修改。

对于如 “将节点\(x\)修改权值为\(v\)” 的指令，线段树可以以自下向上的方式修改。具体地，可以从根节点作为入口进入，递归向下找到需要修改的节点，再在回溯过程中更新沿路祖先节点的最值信息。时间复杂度\(O(log_2n)\)。

\(Code:\)

inline void modify(int p,int x,int v)
{
    if(l(p)==r(p))
    {
        Max(p)=v;
        return;
    }
    int mid=(l(p)+r(p))/2;
    if(x<=mid)modify(p*2,x,v);
    if(x>mid)modify(p*2+1,x,v);
    Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1)); 
}

查询 (query)

线段树还需要能够解决区间最值查询问题。

对于如 “查询区间\([l,r]\)的最大值” 的指令，线段树可以递归查找得到最大值。具体地，从根节点开始，递归执行以下过程：

• 1.若\([l,r]\)完全覆盖了当前结点所代表的区间，返回当前结点区间中的最大值作为备选答案
• 2.若左子节点与\([l,r]\)有重合部分，递归访问左子节点
• 3.若右子节点与\([l,r]\)有重合部分，递归访问右子节点

可以证明，区间查询的时间复杂度至多为\(O(2log_2n)\)。

\(Code:\)

inline int query(int p,int l,int r)
{
    if(l<=l(p)&&r>=r(p))return Max(p);
    int mid=(l(p)+r(p))/2;
    int res=-INF;
    if(l<=mid)res=max(res,query(p*2,l,r));
    if(r>mid)res=max(res,query(p*2+1,l,r));
    return res;
}

至此，线段树的基本模型已经构成，我们通过一道模板题展示一下代码。

Description

给定一个包含n个数的序列，初值全为0，现对这个序列有两种操作：
操作1：把 给定 第k1 个数改为k2;
操作2：查询 从第k1个数到第k2个数得最大值。（k1<=k2<=n）
所有的数都 <=100000

Input Format

第一行给定一个整数n，表示有n个操作。
以下接着n行，每行三个整数，表示一个操作。
第一个树表示操作序号，第二个数为k1，第三个数为k2

Output Format

若干行，查询一次，输出一次。

Sample Input

3
1 2 2
1 3 3
2 2 3

Sample Output

3

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,INF=0x3f3f3f3f;
int n;
struct SegmentTree
{
    int p,l,r,Max;
    #define l(x) tree[x].l
    #define r(x) tree[x].r
    #define p(x) tree[x].p
    #define Max(x) tree[x].Max
}tree[N*4];
inline void build(int p,int l,int r)
{
    l(p)=l,r(p)=r;
    if(l==r){Max(p)=0;return;}
    int mid=(l+r)/2;
    build(p*2,l,mid);
    build(p*2+1,mid+1,r);
    Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));
}
inline void modify(int p,int x,int v)
{
    if(l(p)==r(p))
    {
        Max(p)=v;
        return;
    }
    int mid=(l(p)+r(p))/2;
    if(x<=mid)modify(p*2,x,v);
    if(x>mid)modify(p*2+1,x,v);
    Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1)); 
}
inline int query(int p,int l,int r)
{
    if(l<=l(p)&&r>=r(p))return Max(p);
    int mid=(l(p)+r(p))/2;
    int res=-INF;
    if(l<=mid)res=max(res,query(p*2,l,r));
    if(r>mid)res=max(res,query(p*2+1,l,r));
    return res;
}
inline void input(void)
{
    scanf("%d",&n);
    build(1,1,n);
}
inline void solve(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int index,k1,k2;
        scanf("%d%d%d",&index,&k1,&k2);
        if(index==1)modify(1,k1,k2);
        else printf("%d\n",query(1,k1,k2)); 
    }
}
int main(void)
{
    input();
    solve();
    return 0;
}