1、学前了解知识点 

加法原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m_1{}种不同的方法,在第二类办法中有m_2{}种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n{}种不同的方法. 那么完成这件事共有:m_1{}+m_2{}+m_3{}+m_4{}…m_n{}种不同的方法。

乘法原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m_1{}种不同的方法，做第二步有m_2{}种不同的方法，……，做第n步有m_n{}种不同的方法，那么完成这件事有：m_1{} * m_2{} * m_3{} * m_4{}* …m_n{}种不同的方法.

2、置换

概念：将n个事物按顺序排进行排列称为置换(substitution)

例如：A、B、C这3个字母按照ABC、ACB、BAC…进行顺序排列，共有多少种排法？

解：

第一个字母有3种选法，第二个字母有2种选法，第三个字母只有1个选法；

故共有：3*2*1=6种排法。

记作：3！

读作：3的阶乘

置换公式：P_{k}^{k} = k!

注意：0！ = 1 （0的阶乘为1）

例如：

  • 10！= 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

  • 55！=55*54*53*52*…*1

 3、排列

概念：一般地，从n个不同元素中取出k(k≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出k个元素的一个排列.

例如：

从5个字母（A\B\C\D\E）选3个字母进行排列，有多少种排法？

解：

和置换类似，第一个字母有5种选法，第二个字母有4种选法，第三个字母有3种选法

故共有：5*4*3=120种

记作：P_{5}^{3}

读作：从5个不同元素中取出3个元素的一个排列

注意：P_{5}^{0} = 1

排列数公式：P_{n}^{k} = n*(n-1)*(n-2)…(n-k+1){共有(n-k+1)个n的阶乘}

例如：

  • P_{10}^{3}  = 10*9*7

  • P_{9}^{6}   =  9*8*7*6*5*4（最后一个数4=9-6+1）

 

4、组合

概念：一般地，从n个不同元素中取出m（k≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出k个元素的一个组合.

排列与组合的区别

  • 共同点：都是从n个元素中取出任意k个元素。

  • 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。

例如：从5个字母（A\B\C\D\E）选3个字母，不考虑他们的顺序（如：ABC和BAC是视为一组），有多少种排法？

解：

ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种。

组合数公式：C_{n}^{k}  =  \frac{P_{k}^{n}}{P_{k}^{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!)}= 从n个元素取k个的排列总数/k个元素的置换总数

注意：C_{n}^{0} = 1 (数学上规定)

利用组合数公式解刚才的例题：

C_{5}^{3}​​​​​​​  =  \frac{5!}{3!(5-3)!}  =   \frac{120}{12} = 10

 

 

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