算法系列-最大子数组的几种算法剖析
问题描述：
给定一只股票在某段时间内的历史价格变化曲线，找出一个能够实现收益最大化的时间段。
理解：
为找出最大化的收益，需要考虑的是在买进和卖出时的价格变化幅度，因此从该股票的每日变化幅度来考虑问题比较合适。由此，可以将上述问题稍作变形：给定一只股票在某段时间内的每日变化幅度，找出一个合适的买进和卖出时间，以实现收益最大化。因此，将输入数据转换如下，并试图在整个时间段中找到一个累加和最大的子区间，亦即最大子数组。
暴力求解方法：
首先能够想到的是在一个给定数组（区间）中，其子数组（子区间）的个数是C(2,n)，很容易就能遍历完所有子数组从而找出最大的那个，其最坏情况渐进时间复杂度是Θ(n2)。假设每日变化幅度保存在数组A中（A的下标从1到n），A.length表示A的元素个数，最终结果以元组形式返回；给出伪码如下：
BRUTE_FORCE(A)
i = 1
sum = -infinity
for i <= A.length, inc by 1
j = i
last_sum = 0
for j <= A.length, inc by 1
last_sum += A[j]
if last_sum > sum
sum = last_sum
start = i
end = j
return (start, end, sum)
分治求解方法：
上述方法的渐进时间复杂度差强人意。类比于归并排序，有时采用分治策略能够获得更好的时间复杂度。分治策略通常包含分解成子问题、解决子问题、合并子问题。由此可以推出大致的解决思路：首先依然假设数据输入如上一个方法那样，然后考虑将A[1…n]拆分为规模大致相同的两个子数组left[1…mid]和right[mid+1…n]，其中mid=(1+n)/2向下取整，那么可以肯定，最大子数组要么在这两个子数组中，要么横跨这两个子数组，因此可以分别求解这三种情况，取其中最大的子数组并返回即可。
对于left/right子数组可递归求解，而对于横跨两个子数组的情况，如果能够使得该情况下的求解时间复杂度为O(n)，那么应该能让整体的最坏时间复杂度低于Θ(n2)。如果仅仅是通过遍历所有包含A[mid]和A[mid+1]的子数组来找最大子数组，那么很显然仅求解该情况就需要Θ(n2)的时间。可以推断横跨两个子数组的最大子数组，必须由两个分别在left/right中的子数组组成，这两个子数组在分别包含了A[mid]和A[mid+1]的所有子数组中是最大的；因为如果存在一个不满足上述条件的最大子数组，那么总可以用上述方法找到一个更大的子数组。
根据上述思路，很容易推知求解横跨两个子数组的情况只需要O(n)的时间。由此给出伪码如下：
（1）子过程：找出横跨两个子数组的最大子数组
FIND_CROSSING_MAX_SUBARRAY(A, low, mid, high)
left_sum = -infinity
sum = 0
i = mid
for i >= low, dec by 1
sum += A[i]
if sum > left_sum
left_sum = sum
left_index = i
right_sum = -infinity
sum = 0
i = mid + 1
for i <= high, inc by 1
sum += A[i]
if sum > right_sum
right_sum = sum
right_index = i
return (left_index, right_index, left_sum+right_sum)
（2）主过程：分治法找出最大子数组
FIND_MAX_SUBARRAY(A, low, high)
if low == high
return (low, high, A[low])
else
mid = down_trunc((low + high) / 2)
(left_start, left_end, left_sum) =
FIND_MAX_SUBARRAY(A, low, mid)
(right_start, right_end, right_sum) =
FIND_MAX_SUBARRAY(A, mid+1, high)
(cross_start, cross_end, cross_sum) =
FIND_CROSSING_MAX_SUBARRAY(A, low, mid, high)
if left_sum > right_sum and left_sum > cross_sum
return (left_start, left_end, left_sum)
else if right_sum > left_sum and right_sum > cross_sum
return (right_start, right_end, right_sum)
else
return (cross_start, cross_end, cross_sum)
可以看出上述算法渐进时间复杂度为Θ(nlg(n))。
缩减问题规模的方法：
在查找过程中，是否可以根据现有的信息，来缩减需要排查的子数组个数，进而获得更好的时间复杂度呢？一个思路是不再重复检查以前累加过的元素，即从左至右累加元素，保存其中的最大子数组，如果在加入一个元素后累加和为负数，则从该元素的后一个元素重新累加，直至整个数组遍历完毕。该思路有效的前提是证明以下几个假设：
- 可以将最大子数组来源分为三种：已经遍历完的数组部分、未遍历的数组部分以及跨越这两部分的子数组
- 可以假设当从左至右累加直至累加和为负，所得的最大子数组是当前已遍历完的数组部分中最大的
- 可以假设当累加和为负时，潜在的最大子数组不可能从该元素或该元素左边的元素开始
假设1不证自明。
假设从A[1]累加到A[i]时第一次遇到其累加和为负（1<=i<=n），那么A[i]一定为负，且A[1]+…+A[i-1]>=0。当i<=2时，显然此时假设2成立。当i>2时，可以认为在A[1]…A[i]中，所有子数组可分为三种：从A[1]开始向右拓展、从A[i]开始向左拓展以及不包含A[1]和A[i]的中间子数组；显然从A[i]向左拓展的不可能是最大子数组，而如果不包含A[1]和A[i]的中间子数组是最大子数组，那么可以使该中间子数组加上其左边的部分构成一个新的子数组，而且该子数组总是大于等于这个中间子数组，因为其左边部分总是大于等于0，所以该情况下假设2也得证。综合来看假设2是成立的。
对于假设3，显然潜在的最大子数组不可能从A[i]开始，因为A[i]<0。当潜在的最大子数组从A[i]的左边开始时，假设其从A[j]开始（1<=j<i）。显然j不能等于1，因为A[1]+…+A[i]<0；当j>1时，A[j]+…+A[i]一定是负数，因为A[1]+…+A[j-1]一定大于等于0而A[1]+…+A[i]一定为负。所以综合来看，从A[i]或者A[i]的左边寻找潜在的子数组是没有意义的。
伪码如下，时间复杂度为Θ(n)。对于全部是负数的情况，特殊处理即可，不影响时间复杂度。
LINEAR_SEARCH_MAX_SUBARRAY(A)
sum = -infinity
start = 0
end = 0
cur_sum = 0
cur_start_index = 1
i = 1
for i <= A.length, inc by 1
cur_sum += A[i]
if cur_sum < 0
cur_sum = 0
cur_start_index = i + 1
else
if sum < cur_sum
sum = cur_sum
start = cur_start_index
end = i
return (start, end, sum)