最近在看机器学习相关的书籍，顺便把每天阅读的部分写出来和大家分享，共同学习探讨一起进步！作为机器学习的第一篇博客，我准备从感知器开始，之后会慢慢更新其他内容。

在实现感知器算法前，我们需要先了解一下神经元（neuron）的工作原理，神经元有很多树突和一个轴突，树突（Dendrites）可以从其他神经元接收信息并将其带到细胞体（Cell nucleus），轴突（Axon）可以从细胞体发送信息到其他神经元。树突传递过来的信息在细胞体中进行计算处理后，如果结果超过某个阈值，轴突会传递信号到其他的神经元。人们通过认识神经元的工作过程，创造出了感知器学习算法。

感知器是Frank Rosenblatt在1975年就职于康奈尔实验室时所发明的一种人工神经网络，它被视为一种最简单形式的前馈神经网络，是一种二元线性分类器，不足在于不能处理线性不可分问题。

下图为三种不同情况，左图中的两类可以使用一条直线（即线性函数）分开，即线性可分；中间和右边由于不能使用线性函数分开，则为线性不可分。

我们直接来看一个实例，假设我们现在需要对花进行分类，数据集中有两种花朵，分别将其记为1和-1，我们需要根据数据集含有的花的一些特征来进行分类，这里仅使用两种花的特征，即萼片长度和花瓣长度，将这两个特征用向量表示为：
\[
x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
\]
x也叫做输入向量，我们再定义一个相应的权重向量w：
\[
w = \begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}
\]
将x和w线性组合后得到z：
\[
z = w_1x_1+w_2x_2
\]
我们假设，如果样本的激活值z大于等于事先设置好的阈值b，我们就说此样本属于类别1，否则属于类别-1，公式表示如下：
\[
\phi(z) = \begin{cases}1,\quad z\ge b \\\\-1,\quad otherwise\end{cases}
\]
可以看出这个想法和神经元的工作原理很相似。为了方便，我们将阈值b移到等式的左边并额外定义一个权重参数来代替-b，更新z为以下等式：
\[
z = w_0x_0+w_1x_1+w_2x_2
\]
那么上式中的z大于等于0的情况也就等价于之前当z大于等于阈值b的情况，可以得到：
\[
\phi(z) = \begin{cases}1,\quad z\ge0 \\\\-1,\quad otherwise\end{cases}
\]
上面的函数也叫做激活函数，我们通过激活函数将z压缩到了一个二元输出（1，-1），也就是：

我们可以看出权重向量w决定着分类是否准确，那么我们如何选择合适的权重向量w呢？我们不能一个一个给w赋值，这样工作量太大且没有效率，其实感知器可以通过数据集中的样本自动调整w，随着训练的进行，w的变化趋于平稳，分类的准确率也会大大提高。

我们更新权重向量w的公式为：
\[
w_j = w_j + \Delta w_j
\]

\[
\Delta w_j = \eta(y^i-\hat{y^i})x^i_j
\]

\[
\eta-学习率\\w_j-w向量的第j个特征\\y^i-第i个样本的真实类别\\\hat{y^i}-第i个样本的预测类别\\x_j^i-第i个样本的第j个特征
\]

其中学习率介于0.0和1.0之间，用于控制w更新的程度，权重向量w中的每一个参数都是同步更新的，即只有在w的每个参数的更新大小都计算出来后才会改变w的值，我们使用数据集中的大量训练样本x来更新w，来逐渐提高分类准确率。

感知器算法只有类别线性可分且学习率较小的情况下才能保证收敛，感知器接收训练样本x，将x与w线性结合得到z，再将z传递给激活函数，产生一个分类结果作为对样本x的预测类别，之后按照更新规则来更新w，等收敛后感知器也就训练完成了。

接下来我们开始实现感知器算法并使用Iris数据集训练：

import pandas as pd

读取数据集

df = pd.read_csv('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data', header=None)

df.tail()

由上表可以看到每个输入向量x都包含4个特征（0、1、2、3）和1个正确的类别（4）

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

取出前100个训练样本的类别向量，若其类别输入‘Iris-setosa’，则将其设置为-1，否则设置为1

y = df.iloc[0:100, 4].values

y = np.where(y == 'Iris-setosa', -1, 1)

取出前100个训练样本的前两个特征向量

X = df.iloc[0:100, [0, 2]].values

画出这100个训练样本的类别分布图

plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='red', marker='o', label='setosa')
plt.scatter(X[50:100, 0], X[50:100, 1], color='blue', marker='x', label='versicolor')
plt.xlabel('petal length')
plt.ylabel('sepal length')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

实现感知器

import numpy as np

class Perceptron(object):
    """Perceptron classifier.

    Parameters
    ----------
    eta:float
        Learning rate(between 0.0 and 1.0
    n_iter:int
        Passes over the training dataset.

    Attributes
    ----------
    w_:1d-array
        weights after fitting.
    errors_:list
        Number of miscalssifications in every epoch.

    """

    def __init__(self, eta=0.01, n_iter=10):
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter

    def fit(self, X, y):
        """Fit training data.

        :param X:{array-like}, shape=[n_samples, n_features]
        Training vectors, where n_samples is the number of samples and
        n_features is the number of features.
        :param y: array-like, shape=[n_samples]
        Target values.
        :return:
        self:object

        """

        self.w_ = np.zeros(1 + X.shape[1]) # Add w_0
        self.errors_ = []

        for _ in range(self.n_iter):
            errors = 0
            for xi, target in zip(X, y):
                update = self.eta * (target - self.predict(xi))
                self.w_[1:] += update * xi
                self.w_[0] += update
                errors += int(update != 0.0)
            self.errors_.append(errors)
        return self

    def net_input(self, X):
        """Calculate net input"""
        return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

    def predict(self, X):
        """Return class label after unit step"""
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0, 1, -1) #analoge ? :n in C++

ppn = Perceptron(eta = 0.1, n_iter = 10)

ppn.fit(X, y)

<__main__.Perceptron at 0x16680906978>

画出训练曲线

plt.plot(range(1, len(ppn.errors_) + 1), ppn.errors_, marker = 'o')
plt.xlabel('Epoches')
plt.ylabel('Number of misclassifications')
plt.show()

画出分界线

from matplotlib.colors import ListedColormap

def plot_decision_region(X, y, classifier, resolution=0.02):
    # setup marker generator and color map
    markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
    colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
    cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
    
    # plot the decision surface
    x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    
    xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
                          np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
    Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
    Z = Z.reshape(xx1.shape)
    
    plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.4, cmap=cmap)
    plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
    plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
    
    #plot class samples
    for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
        plt.scatter(x=X[y == cl, 0], y=X[y == cl, 1],
                   alpha=0.8, c=cmap(idx), marker = markers[idx],
                   label=cl)

plot_decision_region(X, y, classifier=ppn)
plt.xlabel('sepal length [cm]')
plt.ylabel('petal length [cm]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

参考：

https://www.toutiao.com/a6669391886744027662/
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9F%E7%9F%A5%E5%99%A8