刚刚跟着EM-LGH大佬学了非旋转Treap

非常庆幸不用再写万恶的rotate了（来自高级数据结构的恶意）

来记一下

Treap

概念

简单来说，\(Tree_{二叉搜索树} * Heap_堆 = Treap_{平衡树}\)

这显然不是袁隆平爷爷干的

二叉搜索树，堆←不懂请戳这里

显然这两样东西有各自的排列顺序——左小右大以及根小（大）儿子大（小）

对于寻找答案来讲，二叉搜索树更加方便

— 那么堆用来干嘛呢

很简单，用来达到期望平衡

— 怎么实现呢

通过另一个关键字

— 为什么是“期望”平衡呢

因为是通过随机的关键字啊！

操作

上面说过了，二叉搜索树管答案，堆管时间

李云龙：“你管生活，我管军事”

如何让随机的关键字满足堆的性质，同时节点的值满足二叉搜索树的性质呢

旋转

然而这个玩意十分难写且难理解。。。

所以就出现了……

非旋转Treap

它与旋转的Treap很相似

但是它是基于分裂和合并两个基本操作而不是旋转

-define表+struct，请对照此表理解代码-

#define lson t[x].ls
#define rson t[x].rs
#define si t[x].size
#define ra t[x].ran
#define lss t[t[x].ls].size
#define rss t[t[x].rs].size
#define va t[x].val
//-------------------------
struct node
{
    int val, size, ls, rs, ran;
}t[100001];

分裂

指定一个val，将值∈[0, val]的节点与值∈(val, +∞)的节点分成两棵树

实现过程和寻找后继的过程很像

void split(int x, int &l, int &r, int val)
{
    if(!x)
    {
        l = r = 0;
        return;
    }
    if(va <= val) l = x, split(t[x].rs, t[l].rs, r, val);//当前值比val小或等于val，则将它与它的左子树全部划分到第一棵树，继续寻找它的右子树
    else r = x, split(t[x].ls, l, t[r].ls, val);//反之，则将它与它的右子树划分到第二棵树，寻找它的左子树
    pushup(x);//不要忘记更新size
}

合并

分裂的反过程

要求合并的A树与B树中\(A_{max} < B_{min}\)

void merge(int &x, int a, int b)
{
    if(!a||!b)
    {
        x = a + b;
        return;
    }
    if(t[a].ran < t[b].ran) x = a, merge(t[x].rs, t[a].rs, b);//随机值在这里用，用来在合并时维护堆的性质
    else x = b, merge(t[x].ls, a, t[b].ls);
    pushup(x);//更新！
}

插入

基于分裂和合并

在\(val – 1\)处分裂->合并节点Z与树A->合并树A与树B

void insert(int val)
{
    int x = 0, y = 0, z = 0;
    newnode(z, val);
    split(root, x, y, val - 1);
    merge(x, x, z);
    merge(root, x, y);
}

删除

和插入很像

将大树在\(val – 1\)处分裂成AB->将树B在\(val\)处分裂成BC->合并树A与树C

void del(int val)
{
    int x = 0, y = 0, z = 0;
    split(root, x, y, val);
    split(x, x, z, val - 1);
    merge(z, t[z].ls, t[z].rs);//这里是只删除一个的操作，全部删除请忽略本行和下一行
    merge(x, x, z);
    merge(root, x, y);
}

询问排名

和插入很像

在\(val-1\)处分裂->输出A的size

void ask_rank(int v)
{
    int x = 0, y = 0;
    split(root, x, y, v - 1);
    cout << si + 1;
    merge(root, x, y);
}

询问第k小

相当于反着问排名

void ask_num(int x, int kth)
{
    while(lss + 1 != kth)
    {
        if(lss >= kth) x = lson;
        else kth -= (lss + 1), x = rson;
    }
    cout << va;
}

前驱

在\(v-1\)处分裂->询问A中最大（第size小）->合并

void ask_fr(int v)
{
    int x = 0, y = 0;
    split(root, x, y, v - 1);
    ask_num(x, si);
    merge(root, x, y);
}

后继

与前驱相反

在\(v\)处分裂->询问B中第一小->合并

void ask_ba(int v)
{
    int x = 0, y = 0;
    split(root, x, y, v);
    ask_num(y, 1);
    merge(root, x, y);
}

时间复杂度

由于它是期望平衡的，所以它的所有操作都在\(O(logN)\)左右。

完结，撒花！！！！！！！★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。