矩阵乘法

定义

设 \(A\) 是一个 \(n \times p\) 的矩阵， \(B\) 是一个 \(p \times m\) 的矩阵。
若 \(A \times B=C\) ，则 \(C\) 是一个 \(n \times m\) 的矩阵。

性质

显然，矩阵乘法不满足交换律。
矩阵乘法满足结合律。
证明
若 \(A \times B \times C=D\) ，
设 \(A \times B=T\) ，
则 \(D_{i,j}=\sum \limits _{x=1}^q T_{i,x} \times C_{x,j}\) ，
拆一拆，得 \(D_{i,j}=\sum \limits_{x=1}^q (\sum \limits_{y=1}^p A_{i,y} \times B_{y,x}) \times C_{x,j}\) ，
去括号，得 \(D_{i,j}=\sum \limits _{x=1}^q \sum \limits _{y=1}^p A_{i,y} \times B_{y,x} \times C_{x,j}\) 。
设 \(A \times (B \times C)=E\) ，同理可得
\(E_{i,j}=\sum \limits_{x=1}^p \sum \limits_{y=1}^q A_{i,x} \times B_{x,y} \times C_{y,j}\) ，
故矩阵乘法满足结合律。

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