在软科学中，偶然性是普遍的、详尽的，长期的详尽预言是做不到的。

这直接导致的结果就是，复杂系统的一个普遍理论必须而且必然是抽象的。

例如，生命的理论原则上说必须能够描述演化的所有可能的情形。它应当能够描述火星上的生命的机理（如果火星上的确会有生命的话）。但这是极其不确定的一步。我们构造的任何普遍的理论都不能把实际的物种作为特定的参考。

笔者思考：

这一点很类似概率统计与因果推理，在宏观上，我们能够计算出目标事物的一个概率发生数值（例如98%），但这里所谓的概率值，仅仅是指对于整体来说，不同类型的事物各自的占比分布情况。我们决不能将其直接应用到一个具体的对象实例上，因为对于某一个具体的实例来说，这个98%的发生概率是不一定成立的，它存在浮动偏差这个概念。

如果遵循传统的实验科学方法，把重点放在对细节的精确描述上，我们可能会失去洞察力。生命的理论有可能是过程的理论，而不是对那个过程中的完全偶然的细节的详细描述，例如人类的出现。 

回到我们本小节的问题，复杂理论可以解释什么？

• 量级为 6 的地震的强度是量级为 5 的地震的强度的十倍
• 量级为 4 的地震的强度又是量级为 3 的地震的强度的十倍
• 量级为 8 的地震的能量要比量级为 1 的地震的能量高一千万倍，而后者相当于一辆大型卡车通过时造成的结果。

利用全球通用的地震手册，我们可以把直线拓展到量级为 7 级、8 级及 9 级的地震的情况。这个规律是令人惊奇的 ! 一个像地球的表面，有山峰、有山谷、有湖泊，以及充满巨大变化的地理结构一样复杂的系统的各个部分的动力是如何像魔术一样产生如此简单的规律？

这个定律表明大地震并不占有特殊的地位，它们和小地震一样遵从同样的规律，大地震并不是黑天鹅事件。

因此，人们似乎不应当设法找到对大地震的特定的解释，而是应当找到包括所有地震的普遍理论，无论这些地震是大还是小。 

在经济学方面，也存在一个同古登堡—里特定律一样的经验性的模式。

纽约 IBM 的 T·J·沃特森中心的贝罗特·曼得布罗特在 1996 年指出，证券、棉花以及其他商品价格低和高的波动的概率，遵从一种非常简单的模式，也就是所谓的【列维分布】。

曼得布罗特收集了几年中棉花价格逐月波动的资料。他然后计算出月波动在各个区间（例如 10%到 20%之间、5%到 10%之间）的波动次数，并且把这些结果画在一个对数图上，

(a)曲线反映了30个月之内的棉花价格的月波动。(b)曲线显示了相关波动超过给定比例的月份的数目。注意从小的波动到大的波动的平滑过渡。直线表明了幂次规律。其他商品遵
从同样的模式。

正如古登堡 — 里特定律一样，价格波动的分布近似地遵从一条直线（即满足幂次规律）。价格波动是“标度自由的”，即波动没有典型的尺寸，或者说波动在任何尺寸上都可能有分布，正如地震没有一个典型的特征大小，这点很类似分形的性质。 

这实际上是用到了微积分的渐进拟合的思想，通俗的理解方式就是，我们可以使用大小为 δ 的盒子来铺满海岸。显然，盒子越小，铺满整个海岸线所要的盒子越多。

• 如果海岸线是一条直线，也就是维数为 1，那么盒子的数量就会反比于 δ，因此测量出的长度与δ无关。
• 然而 , 所需盒子的数量，会随着海岸线的弯曲部分而快速增加 , 因而直线有了一个斜率。

直线斜率的负数给出了海岸的“分形维数”。例如挪威海岸的 D = 1. 52，它表明海岸处于维数为 1 的直线和维数为 2 的平面之间的某种情况。 

1887 到 1967 年的 80 年间从类星体上发出的光 (Press,1978)。其中包含慢的，以及中等范围的起伏的模式（从几分钟到几年）。这种类型的信号就是 1/f 噪声

这种信号可以被看作是大大小小的波峰的叠加。它看起来像时间上的一种山脉的地貌，而不是空间上的。

这种信号也可以等价地看作所有频率的周期性信号的一种叠加。这也是表明在所有的时间标度上都有相同特征的另外一种表达方式。

正如挪威拥有大小各异的峡湾一样，一个 1/f 信号也包含各种大小的波峰。它的分频强度或“功率”相对于小的频率来说反而要大，它的强度与频率 f 成反比，这也是 1/f 的由来。

另一个一个简单的例子就是行驶在一条交通拥挤的公路上的汽车的车速。各种走走停停的时间长短不一，而时间的长短对应的是交通拥挤的程度，拥挤程度越高，则通行速度越低。对一条公路来说，整个路段的拥挤程度是各种拥挤程度的综合叠加。

笔者插入：

1/f 噪声中，也同样遵循”标度自由“特性。

需要注意的是，1/f 噪声虽然是各种频率信号的综合叠加，但它不是白噪声。白噪声在一个时刻的信号值和另一时刻的信号值之间没有任何关联。

在下图所示的白噪声模式中，没有缓慢的起伏，也就是说没有大的波峰。

白噪声听起来更像收音机调台时发出的“ 嘶嘶”声而不是乐音，并且它包括了所有的频率，这些频率在数量上也是统计一致的。  

兹波夫也统计了单词在一篇文学作品中的出现频率分布，如詹姆斯·乔伊斯的《尤利西斯》，或在一批美国报纸上的使用频率。

• 使用频率占第 10 位的单词“( 等级”为 10 的单词)出现了 2653 次。
• 使用频率占第 20 位的单词出现 1311 次。
• 使用频率占第 20000 位的单 词只出现了一次

下图显示了英语中单词出现的频率与它们的等级之间的关系。

• 等级为 1 的单词 the，出现的频率为 9%
• 等级为 10 的 I 出现的频率为 1%
• 等级为 100 的 say 出现的频率为 0.1%，
• 等等

这些数据是来自报纸还是《圣经》，还是《尤利西斯》都无关紧要，曲线是一样的。笔者曾经在DNS Tunnel异常检测中，引入过zipf统计作为特征工程的一部分。

在对数图上所作的关于等级与频率之间的、斜率近似为 1 的 直线所表达的规律就被称为【兹波夫定律】。

笔者插入：

注意所有观察到的现象都具有统计特征。

• 古登堡—里特定律描述的是每种量级的地震的数目，而不是什么时候什么地点某个特定的地震会发生或确实已发生。
• 兹波夫定律处理的是一个人口范围给定的城市的数目，而不是为什么某个特定的城市拥有 一定数量的居民。

不同的定律通过可测量的分布函数得以表达。因而，一个用来解释那些现象的理论必须也是统计性的。

在这里，

• s可以是地震中释放出来的能量，而 N(s) 就是放出那个能量的地震的数目
• s可以是峡湾的长度，而 N(s) 就是具有那种长度的峡湾的数目。

本质上，前面讨论的【古登堡 — 里特定律】、【列维分布】、【兹波夫定律】、【分形几何】，其本质上都是幂次定律的一种特殊形式。

前3个可能比较好理解，但是分形几何和幂次定律有什么内在联系呢？

实际上，分形的特征就是幂次规律的分布赋予的。对上式两边都取对数我们会发现：

自然界被认为从原则上来说是守恒的，这种观点激励了环保学家。毫不奇怪，在人的寿命时限内自然环境几乎没有什么改变，因而平衡这个概念会显得非常自然或者很直觉。然而，如果自然界处于平衡，那么我们最初是如何来到这个世上的？

如果自然界始终处于平衡，那么它是如何演化的？除非发生了什么重大的事情，导致自然系统进入相变状态，因为只有相变状态才具有复杂性。

正如古尔德和爱德乔指出的那样，生物界中显而易见的平衡只不过是处于行为间歇爆发和旧物种灭亡新物种开始出现这两者之间的一段宁静或郁滞的时期。个别物种演化的进程，往往是通过零星的爆 发而进行。这种现象被称为【断续平衡】。

断续平衡的概念是复杂系统动力学的核心。巨大的间歇性的爆发在平衡系统中无立足之地，但在历史学、生物学和经济学中它们无所不在。

混沌信号具有白噪声谱, 而不是 1/f 谱。因而可以说混沌系统只不过是一部成熟的随机噪声产生器。混沌系统没有关于过去的记忆，因而无法演化。

总体上说，混沌系统是不具有复杂性的，但是有一个例外，就是在临界点的位置上，也就是混沌相变发生的地方。

在混沌相变发生的地方，存在类似 1/f 信号的复杂行为。复杂态位于可预测的周期行为和不可预测的混沌的分界面上。

综上，混沌系统的复杂性只存在于某个非常特殊的点上，而在那些真正导致混沌的λ值的点上并不存在。混沌系统的复杂性并不是稳固的。

所谓自组织，是指自组织临界系统演化到复杂的临界态时没有受到任何外界作用的干预。

另一方面，临界性并不是突然就进入的。自组织过程发生时经历了一个非常长的暂态时期。

无论是地球物理，还是生物演化过程 , 总是由一个漫长的演化过程产生的。它不能通过在一个短周期时间内的研究系统而得以理解。

• 地震的规律不能够仅仅通过研究在人的寿命时限内发生的地震得以理解，而必须考虑亿万年以来发生的地球物理过程，并且要把我们现在所观察到的考虑在内。
• 生物进化不能通过在实验室里研究几代老鼠和细菌的进化得以理解。
• 一个沙堆展示了断续平衡行为，其中郁滞期由于不断有沙滑下而被打断。沙的下滑或雪崩是由多米诺效应造成的，其中单个的沙粒推动一个或更多其他的沙粒从而导致它们下滑。那些倒下的沙粒又轮流地以链式反应的方式和其他沙粒相作用。大的雪崩，不是逐渐的改变，它把质的行为和量的行为连在一起了，从而形成了突发现象的基础。