一、题目描述

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例:

现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

给定 target = 5，返回 true。

给定 target = 20，返回 false。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii

二、题解

方法一：暴力搜索法

方法一最容易想到，直接使用两个for循环遍历矩阵，当遇到与target相等的值时直接返回True即可。此法显然不是出题人想要的结果。

完成时间：2020.05.07

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix, target):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :type target: int
        :rtype: bool
        """
        for i in range(len(matrix)):
            for j in range(len(matrix[0])):
                if matrix[i][j] == target:
                    return True
        return False

方法一使用了两趟循环：

时间复杂度：\(O(m * n)\) ，\(m\)指的是矩阵行数，\(n\)指的是矩阵列数。
空间复杂度：\(O(1)\)。

方法二：二分查找

方法二是对方法一的优化。由于矩阵的行和列都已经排好序，那么可以利用二分查找加快目标值的查找速度。具体做法是当按行遍历矩阵时，使用二分查找法对每行进行查找。

注意：

• 二分查找算法里面有很多细节需要注意，不然极容易出错。

完成时间：2020.05.09

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix, target):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :type target: int
        :rtype: bool
        """
        # 矩阵为空，直接返回False
        if not matrix:
            return False
        
        rows = len(matrix)
        columns = len(matrix[0])

        for i in range(rows):
            left = 0
            right = columns - 1 # 注意 
            while left <= right: # 注意要带等号，不然当数组只有一个值时，可能会漏掉结果
                mid = (left + right) // 2
                if matrix[i][mid] > target:
                    right = mid - 1
                elif matrix[i][mid] == target:
                    return True
                elif matrix[i][mid] < target:
                    left = mid + 1
        return False

方法二使用了两趟循环：

时间复杂度：for循环的时间复杂度为\(O(m)\) ，\(m\)指的是矩阵行数，while循环的时间复杂度为 \(O(\log_{2}n)\)，n为矩阵的列数，所以总的时间复杂度为\(O(m*\log_{2}n)\);

空间复杂度：\(O(1)\)。

方法三：利用本题矩阵的特点

既然题目告诉我们矩阵每行的元素从左到右升序排列，每列的元素从上到下升序排列，那么我们可以利用这一特性来巧妙解题。

• 首先设置变量row表示行标，col表示列标，将row的初始值设为0，表示第一行，将col的初始值设为矩阵最后一列的下标；
• 然后使用一个while循环遍历矩阵，若matrix[row][col] > target成立时，说明当前值比目标值target大，列标col需要左移来找到更小的值与target相比较；若matrix[row][col] < target成立时，说明当前值比目标值target小，行标row需要下移来找到更大的值与target相比较；若matrix[row][col] == target成立时，说明找到了目标值target，直接返回True即可；
• 最后，若遍历结束仍然没有找到目标值target，说明矩阵中不存在目标值taregt，返回False即可。

注意：

• 与目标值比较的初始值选取的位置必须在矩阵的左下角和右上角处

完成时间：2020.05.07

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix, target):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :type target: int
        :rtype: bool
        """
        if not matrix:
            return False
        
        row, col = 0, len(matrix[0]) - 1
        while row < len(matrix) and col >= 0:
            if matrix[row][col] > target:
                col -= 1
            elif matrix[row][col] < target:
                row += 1
            else:
                return True
        return False

方法三使用了一趟循环：

时间复杂度：\(O(m + n)\) ，\(m\)指的是矩阵行数，\(n\)指的是矩阵列数。row的最大值不超过矩阵行数m，col的最大值不超过矩阵列数n。
空间复杂度：\(O(1)\)。