今天是机器学习专题的第21篇文章，我们一起来看一个新的模型——决策树。

决策树的定义

决策树是我本人非常喜欢的机器学习模型，非常直观容易理解，并且和数据结构的结合很紧密。我们学习的门槛也很低，相比于那些动辄一堆公式的模型来说，实在是简单得多。

其实我们生活当中经常在用决策树，只是我们自己没有发现。决策树的本质就是一堆if-else的组合，举个经典的例子，比如我们去小摊子上买西瓜。水果摊的小贩都是怎么做的？拿起西瓜翻滚一圈，看一眼，然后伸手一拍，就知道西瓜甜不甜。我们把这些动作相关的因素去除，把核心本质提取出来，基本上是这么三条：

1. 西瓜表面的颜色，颜色鲜艳的往往比较甜
2. 西瓜拍打的声音，声音清脆的往往比较甜
3. 西瓜是否有瓜藤，有藤的往往比较甜

这三条显然不是平等的，因为拍打的声音是最重要的，可能其次表面颜色，最后是瓜藤。所以我们挑选的时候，肯定也是先听声音，然后看瓜藤，最后看颜色。我们把其中的逻辑抽象出来然后整理一下，变成一棵树结构，于是这就成了决策树。

这个决策树本质上做的还是分类的工作，将西瓜分成了甜的和不甜的。也就是说决策树是一个树形的分类器，这个也是决策树的基本定义。另外从图中我们还有一个启示，在这个问题当中，决策树的特征都是离散值，而不是连续值。也就是说决策树可以接受像是类别、标识这样非数值型的特征，而逻辑回归这些模型则不太行。

如果你对这些细节还理解不深刻也没有关系，我们可以先放一放，至少我们明白了决策树的大概结构以及工作原理。

对于每一条数据来说，它分类的过程其实就是在决策树上遍历的过程。每到一个中间节点都会面临一次判断，根据判断的结果选择下一个子树。而树上的叶子节点代表一种分类，当数据到了叶子节点，这个叶子节点的值就代表它的分类结果。

决策树的训练

明白了决策树的结构和工作原理之后，下面就是训练的过程了。

在理清楚原理之前，我们先来看下数据。我们根据上面决策树的结构，很容易发现，训练数据应该是这样的表格：

那么最后我们想要实现什么效果呢？当然是得到的准确率越高越好，而根据决策树的原理，树上的每一个叶子节点代表一个分类。那么我们显然希望最后到达叶子节点的数据尽可能纯粹，举个例子，如果一个叶子节点代表甜，那么我们肯定希望根据树结构被划归到这里的数据尽可能都是甜的，不甜的比例尽可能低。

那么我们怎么实现这一点呢？这就需要我们在越顶层提取规则的时候，越选择一些区分度大的特征作为切分的依据。所谓区分度大的特征，也就是能够将数据很好分开的特征。这是明显的贪心做法，使用这样的方法，我们只可以保证在尽可能高层取得尽可能好的分类结果，但是并不能保证这样得到的模型是最优的。生成最优的决策树本质上也是一个NP问题，我们当前的做法可以保证在尽量短的时间内获得一个足够优秀的解，但是没办法保证是最优解。

回到问题本身，我们想要用区分度大的特征来进行数据划分。要做到这一点的前提就是首先定义区分度这个概念，将它量化，这样我们才好进行选择。否则总不能凭感觉去衡量区分度，好在这个区分度还是很好解决的，我们只需要再一次引入信息熵的概念就可以了。

信息熵与信息增益

信息熵这个词很令人费解，它英文原文是information entropy，其实一样难以理解。因为entropy本身是物理学和热力学当中的概念，用来衡量物体分散的不均匀程度。也就是说熵越大，说明物体分散得程度越大，可以简单理解成越散乱。比如我们把房间里一盒整理好的乒乓球打翻，那么里面的乒乓球显然会散乱到房间的各个地方，这个散乱的过程可以理解成熵增大的过程。

信息熵也是一样的含义，用来衡量一份信息的散乱程度。熵越大，说明信息越杂乱无章，否则说明信息越有调理。信息熵出自大名鼎鼎的信息学巨著《信息论》，它的作者就是赫赫有名的香农。但是这个词并不是香农原创，据说是计算机之父冯诺依曼取的，他去这个名字的含义也很简单，因为大家都不明白这个词究竟是什么意思。

之前我们曾经在介绍交叉熵的时候详细解释过这个概念，我们来简单回顾一下。对于一个事件X来说，假设它发生的概率是P(X)，那么这个事件本身的信息量就是：

比如说世界杯中国队夺冠的概率是1/128，那么我们需要用8个比特才能表示，说明它信息量很大。假如巴西队夺冠的概率是1/4，那么只要2个比特就足够了，说明它的信息量就很小。同样一件事情，根据发生的概率不同，它的信息量也是不同的。

那么信息熵的含义其实就是信息量的期望，也就是用信息量乘上它的概率：

同样，假设我们有一份数据集合，其中一共有K类样本，每一类样本所占的比例是，那么我们把这个比例看成是概率的话，就可以写出这整个集合的信息熵：

理解了信息熵的概念之后，再来看信息增益就很简单了。信息增益说白了就是我们划分前后信息熵的变化量，假设我们选择了某一个特征进行切分，将数据集D切分成了D1和D2。那么就叫做信息增益，也就是切分之后信息熵与之前的变化量。

我们根据熵的定义可以知道，如果数据变得纯粹了，那么信息熵应该会减少。减少得越多，说明切分的效果越好。所以我们就找到了衡量切分效果的方法，就是信息增益。我们根据信息增益的定义，可以很简单地理出整个决策树建立的过程。就是我们每次在选择切分特征的时候，都会遍历所有的特征，特征的每一个取值对应一棵子树，我们通过计算信息增益找到切分之后增益最大的特征。上层的结构创建好了之后， 通过递归的形式往下继续建树，直到切分之后的数据集变得纯粹，或者是所有特征都使用结束了为止。

这个算法称为ID3算法，它也是决策树最基础的构建算法。这里有一个小细节， 根据ID3算法的定义，每一次切分选择的是特征，而不是特征的取值。并且被选中作为切分特征的特征的每一个取值都会建立一棵子树，也就是说每一个特征在决策树当中都只会最多出现一次。因为使用一次之后，这个特征的所有取值就都被使用完了。

举个例子，比如拍打声音是否清脆这个特征，我们在一开始就选择了它。根据它的两个取值，是和否都建立了一棵子树。那么如果我们在子树当中再根据这个特征拆分显然没有意义，因为子树中的所有数据的这个特征都是一样的。另外，ID3算法用到的所有特征必须是离散值，因为连续值无法完全切分。如果西瓜的重量是一个特征，那么理论上来说所有有理数都可能是西瓜的质量，我们显然不可能穷尽所有的取值。

这一点非常重要，不仅关系到我们实现的决策树是否正确，也直接关系到我们之后理解其他的建树算法。

代码实现

理解了算法原理和流程之后，就到了我们紧张刺激的编码环节。老实讲决策树的算法实现并不难，比之前的FP-growth还要简单，大家不要有压力。

首先，我们来创造实验数据：

import numpy as np
import math
def create_data():
    X1 = np.random.rand(50, 1)*100
    X2 = np.random.rand(50, 1)*100
    X3 = np.random.rand(50, 1)*100
    
    def f(x):
        return 2 if x > 70 else 1 if x > 40 else 0
    
    y = X1 + X2 + X3
    Y = y > 150
    Y = Y + 0
    r = map(f, X1)
    X1 = list(r)
    
    r = map(f, X2)
    X2 = list(r)
    
    r = map(f, X3)
    X3 = list(r)
    x = np.c_[X1, X2, X3, Y]
    return x, ['courseA', 'courseB', 'courseC']

这份数据模拟的是学生考试，一共考三门，一共要考到150分以上才算是通过。由于ID3算法只能接受离散值的特征，所以我们要先将连续值转成离散值，我们根据每一门的考试分数，生成三个档次。大于70分的是2档，40到70分的是1档，小于40分的是0档。

为了方便编码，我们把预测值Y放在特征的最后，并且返回这三个特征的名称，方便以后用来建树。

我们运行一下数据查看一下结果：

下面，我们实现计算集合信息熵的函数。这个函数也很简单，我们只需要计算出每个类别的占比，然后套用一下信息熵的公式即可。

from collections import Counter

def calculate_info_entropy(dataset):
    n = len(dataset)
    # 我们用Counter统计一下Y的数量
    labels = Counter(dataset[:, -1])
    entropy = 0.0
    # 套用信息熵公式
    for k, v in labels.items():
        prob = v / n
        entropy -= prob * math.log(prob, 2)
    return entropy

有了信息熵的计算函数之后，我们接下来实现拆分函数，也就是根据特征的取值将数据集进行拆分的函数。

def split_dataset(dataset, idx):
   # idx是要拆分的特征下标
    splitData = defaultdict(list)
    for data in dataset:
       # 这里删除了idx这个特征的取值，因为用不到了
        splitData[data[idx]].append(np.delete(data, idx))
    return list(splitData.values())

本质上就是根据特征取值归类的过程，我们可以随便调用测试一下：

和我们预期一样，根据特征的取值将数据分成了若干份。接下来我们就要实现核心的特征的选择函数了，也就是要选择信息增益最大的特征对数据进行切分。

def choose_feature_to_split(dataset):
    n = len(dataset[0])-1
    m = len(dataset)
    # 切分之前的信息熵
    entropy = calculate_info_entropy(dataset)
    bestGain = 0.0
    feature = -1
    for i in range(n):
       # 根据特征i切分
        split_data = split_dataset(dataset, i)
        new_entropy = 0.0
        # 计算切分后的信息熵
        for data in split_data:
            prob = len(data) / m
            new_entropy += prob * calculate_info_entropy(data)
        # 获取信息增益
        gain = entropy - new_entropy
        if gain > bestGain:
            bestGain = gain
            feature = i
    return feature

到这里，我们所有工具方法都已经开发完了，下面就到了我们紧张刺激的建树部分了。建树其实并没有什么大不了的，无非是通过递归来重复调用上面的方法来创造每一个分支节点而已。如果你熟悉树形数据结构，会发现它和其他树形数据结构的构建过程并没有什么两样。

我们来看下代码，整个过程也只有十几行而已。

def create_decision_tree(dataset, feature_names):
    dataset = np.array(dataset)
    counter = Counter(dataset[:, -1])
    # 如果数据集值剩下了一类，直接返回
    if len(counter) == 1:
        return dataset[0, -1]
    
    # 如果所有特征都已经切分完了，也直接返回
    if len(dataset[0]) == 1:
        return counter.most_common(1)[0][0]
    
    # 寻找最佳切分的特征
    fidx = choose_feature_to_split(dataset)
    fname = feature_names[fidx]
    
    node = {fname: {}}
    feature_names.remove(fname)
    
    # 递归调用，对每一个切分出来的取值递归建树
    split_data, vals = split_dataset(dataset, fidx)
    for data, val in zip(split_data, vals):
        node[fname][val] = create_decision_tree(data, feature_names[:])
    return node

我们运行一下这段代码，会得到一份dict，这个dict当中的层次结构其实就是决策树的结构：

我们这样看可能不太清楚，但是我们把这个dict展开就得到了下图的这棵树结构：

我们观察一下上图当中红圈的部分，这个节点只有两个分叉，而其他的节点都有三个分叉。这并不是代码有bug，而是说明数据当中缺失了这种情况，所以少了一个分叉。这其实非常正常，当我们训练数据的样本量不够的时候，很有可能无法覆盖所有的情况，就会出现这种没有分叉的情况。

到这里虽然决策树是实现完了，但是还没有结束，还有一个关键的部分我们没有做，就是预测。我们训练完了，总得把模型用起来，显然需要一个预测的函数。这个预测的函数也简单，它介绍一条数据以及我们训练完的树结构，返回分类的结果。其实也是一个递归调用的过程：

def classify(node, feature_names, data):
   # 获取当前节点判断的特征
    key = list(node.keys())[0]
    node = node[key]
    idx = feature_names.index(key)
    
    # 根据特征进行递归
    pred = None
    for key in node:
       # 找到了对应的分叉
        if data[idx] == key:
           # 如果再往下依然还有子树，那么则递归，否则返回结果
            if isinstance(node[key], dict):
                pred = classify(node[key], feature_names, data)
            else:
                pred = node[key]
                
    # 如果没有对应的分叉，则找到一个分叉返回
    if pred is None:
        for key in node:
            if not isinstance(node[key], dict):
                pred = node[key]
                break
    return pred

我们来创造一些简单的数据测试一下：

基本上和我们的预期一致，说明我们决策树就实现完了。

总结

我们的决策树虽然构建完了，但是仍然有很多不完美的地方。比如说，目前我们的模型只能接受离散值的特征，如果是连续值则无法进行拆分。而且我们每个特征只能用一次，有时候我们希望能够多次使用同一个特征。在这种情况下ID3就无法实现了。所以我们还需要引入其他的优化。

在后序的文章当中我们将会讨论这些相关的优化，以及决策树这个模型本身的一些特性。如果对此感兴趣，一定不要错过。

喜欢的话，顺手点个关注吧。