在有向无环图（DAG，即 Directed Acyclic Graph）中，拓扑排序（Topological Sorting）是其顶点的线性排序，使得对于从顶点 \(u\) 到顶点 \(v\) 的每个有向边，在排序中 \(u\) 都在 \(v\) 之前。

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非 DAG 图是没有拓扑排序这个概念的。

例如，下面这个图，是一个 DAG，

算法实现

拓扑排序的实现非常之简单，下面介绍一个常用的实现算法 – 卡恩算法（Kahn’s algorithm），

1. 从 DAG 中选择一个没有前驱（即入度为 0）的顶点并输出；
2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边；
3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明该图中必然存在环，可以以此判断该图是否能生成拓扑排序序列。

代码如下：

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

int n;                /* 顶点数(<=100) */
int m;                /* 边数 */
int matrix[105][105]; /* 邻接矩阵 */
int inDegree[105];    /* 入度 */

void TopologicalSort()
{
	int num = 0; /* 已被拓扑排序的顶点的个数 */
	queue<int> q;

	/* 找到所有入度为 0 的顶点，并入队列 */
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (inDegree[i] == 0)
		{
			num++;
			inDegree[i]--;
			q.push(i);
			cout << i << " ";
		}
	}

	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front();
		q.pop();

		for (int v = 1; v <= n; ++v)
		{
			if (matrix[u][v])
			{
				inDegree[v]--;
				if (inDegree[v] == 0)
				{
					num++;
					q.push(v);
					cout << v << " ";
				}
			}
		}
	}

	/* 说明有环 */
	if (num != n)
		cout << "有环，无法生成拓扑序列";

	cout << endl << endl;
}

int main()
{
	while (1)
	{
		memset(matrix, 0, sizeof(matrix));
		memset(inDegree, 0, sizeof(inDegree));

		cout << "请输入顶点数(<=100)：";
		cin >> n;
		cout << "请输入边数：";
		cin >> m;

		cout << "请输入 " << m << " 条有向边:" << endl;
		int u, v;
		for (int i = 0; i < m; ++i)
		{
			cin >> u >> v;
			matrix[u][v] = 1;
			inDegree[v]++;
		}

		cout << "拓扑序列为：";
		TopologicalSort();
	}
	return 0;
}

输出如下：

请输入顶点数(<=100)：5
请输入边数：7
请输入 7 条有向边:
1 2
1 4
2 4
2 3
4 3
3 5
4 5
拓扑序列为：1 2 4 3 5

请输入顶点数(<=100)：3
请输入边数：3
请输入 3 条有向边:
1 2
2 3
3 1
拓扑序列为：有环，无法生成拓扑序列

参考

• 维基百科. 拓扑排序
• CSDN. 拓扑排序（Topological Sorting）