数据结构与算法：二叉排序树
二叉排序树
二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。是数据结构中的一类。在一般情况下，查询效率比链表结构要高。
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当左子树不为空时，左子树上的所有节点值都小于左子树的根节点值
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当右子树不为空时，右子树上的所有节点值都小于右子树的根节点值
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如果二叉树中有相同值节点时，可以放在它的左子节点或右子节点（如果不是开发需要，尽量不要有相同值的节点）
插入操作
步骤：
(1) 判断根节点是否为空，如果为空则将插入节点设置为根节点
(2.1) 判断插入节点值是否小于当前节点值，如果小于则往左节点走
(2.2) 当往左节点走时判断左节点是否为空，如为空则将左节点设置为插入节点，不为空则跳到步骤(2)
(3.1) 判断插入节点值是否大于当前节点值，如果大于则往右节点走
(3.2) 当往右节点走时判断右节点是否为空，如为空则将右节点设置为插入节点，不为空则跳到步骤(2)
下图是将 [6, 2, 7, 1, 4, 8] 数组按顺序插入二叉排序树的过程图示：
代码实现
BSTNode root;//二叉排序树的根节点 public void add(BSTNode node){ //如果根节点为空则，则将传入节点设置为根节点 if (root == null){ root = node; }else { add(node, root); } } /** * 在二叉排序树中添加节点 * @param node 添加的节点 * @param pointer 辅助指针节点，初始指向根节点 */ public void add(BSTNode node, BSTNode pointer){ if (node == null){ return; } if (pointer.value > node.value){//指针节点值大于添加节点值时 //如果指针节点的左节点刚好为空，则将添加节点插入到该左节点 if (pointer.left == null){ pointer.left = node; }else { //如果不是则继续往左节点走 add(node, pointer.left); } }else {//指针节点值小于添加节点值时 //如果指针节点的右节点刚好为空，则将添加节点插入到该右节点 if (pointer.right == null){ pointer.right = node; }else { //如果不是则继续往右节点走 add(node, pointer.right); } } }
查找操作
步骤：
(1) 判断当前节点是否是查找节点，如果是则直接返回当前节点
(2) 判断当前节点值是否大于查找节点值，如果大于则往左节点查找，跳到步骤(1)
(3) 判断当前节点值是否小于查找节点值，如果小于则往右节点查找，跳到步骤(1)
下图是从二叉排序树中查找值为4的节点的图示：
代码实现
//根据value值查找节点 public BSTNode searchNode(int value){ if (root == null){ return null; } return searchNode(value, root); } /** * 根据value值查找节点 * @param value 查找的节点 * @param node 查找的树 * @return */ public BSTNode searchNode(int value, BSTNode node){ //如果当前节点的值等于value时，则返回该节点 if (node.value == value) { return node; } else if (node.value > value){//当前节点的值大于value时 //如果该节点的左节点为空，则表示二叉排序树内没有该值的节点，返回空 if (node.left == null) return null; //左节点不为空，继续往左子树查找 return searchNode(value, node.left); }else {//当前节点的值小于value时 //如果该节点的右节点为空，则表示二叉排序树内没有该值的节点，返回空 if (node.right == null) return null; //右节点不为空，继续往右子树查找 return searchNode(value, node.right); } }
删除操作
删除节点可能有的3中状态：
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删除节点是叶子节点
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删除节点只有左子树为空或右子树为空
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删除节点左子树和右子树都为空
步骤：
(1) 判断删除节点值是否小于当前节点值，如小于则往左节点走
(2) 判断删除节点值是否大于当前节点值，如大于则往右节点走
(3) 当删除节点值等于当前节点值时，即当前节点时要删除的节点，判断当前节点是什么状态
(3.1) 当前节点是叶子节点时，则直接删除当前节点
(3.2) 当前节点左子树为空时，则将右节点顶上，代替当前节点位置
(3.3) 当前节点右子树为空时，则将左节点顶上，代替当前节点位置
(3.4) 当前节点左子树和右子树都不为空时，则将左子树的最大值节点取出后删除，再用最大值节点顶替当前节点位置
/** * 根据value值删除节点 * 删除节点可能有的3种状态： * 1.该节点是叶子节点 * 2.该节点只有左子树或只有右子树 * 3.该节点左子树和右子树都有 * @param value 要删除节点的value值 */ public BSTNode delete(int value, BSTNode node){ if (value < node.value){//当查找节点值小于当前节点值 //向左子树递归遍历，并将删除后的新的左子树连接到左节点位置代替原先左子树 node.left = delete(value, node.left); //返回删除后新的树 return node; }else if(value > node.value){//当查找节点值大于当前节点值 //向右子树递归遍历，并将删除后的新的右子树连接到右节点位置代替原先右子树 node.right = delete(value, node.right); //返回删除后新的树 return node; }else {//当查找节点值等于当前节点值时，即当前节点就是要删除的节点 //删除节点时叶子节点的状态 if (node.left == null && node.right == null){ //直接将该节点设为空 return null; } //删除节点左子树为空，右子树不为空的状态 else if (node.left == null && node.right != null){ //保存删除节点的右子树 BSTNode rightSubTree = node.right; //将删除节点的右子树设为空，使得该节点能够尽早被垃圾回收 node.right = null; //返回删除节点的右子树，连接到删除节点的父节点 return rightSubTree; } //删除节点右子树为空，左子树不为空的状态 else if (node.right == null && node.left != null){ BSTNode leftSubTree = node.left; node.left = null; return leftSubTree; } //删除节点的左子树和右子树都不为空的状态 //这里我们使用的是左子树的最大值节点代替的方法 else { //获取左子树的最大值节点并从左子树中删除它 BSTNode max = max(node.left); //将该最大值节点的左子树和右子树设置为该节点的左子树和右子树 max.left = delMax(node.left); max.right = node.right; //将删除节点的左子树和右子树设为空，使得该节点能够尽早被垃圾回收 node.left = null; node.right = null; //执行完删除操作后，返回以最大值节点为根节点的新的树，连接的删除节点的父节点 return max; } } } /** * 查找传入节点树下value值最大的节点并删除该节点 * @param node * @return */ public BSTNode delMax(BSTNode node){ if (node.right != null){ node.right = delMax(node.right); return node; }else { BSTNode leftSubTree = node.left; node.left = null; return leftSubTree; } } /** * 查找传入节点树下value值最大的节点并放回该节点 * 在二叉排序树中最大值的节点就是最右叶子节点 * @param node * @return */ public BSTNode max(BSTNode node){ BSTNode max = node; while (max.right != null){ max = max.right; } return max; }
public class BinarySortTreeDemo { public static void main(String[] args) { int array[] = {13,7,8,3,29,6,1}; BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree(); for (int i=0; i<array.length; i++){ binarySortTree.add(new BSTNode(array[i])); } binarySortTree.midOrder(); System.out.println("删除后二叉顺序树的节点："); binarySortTree.delete(13); binarySortTree.delete(7); binarySortTree.delete(1); binarySortTree.delete(29); binarySortTree.delete(6); binarySortTree.midOrder(); } } //二叉排序树 class BinarySortTree{ BSTNode root; public void setRoot(BSTNode root){ this.root = root; } //添加节点 public void add(BSTNode node){ //如果根节点为空则，则将传入节点设置为根节点 if (root == null){ root = node; }else { add(node, root); } } /** * 在二叉排序树中添加节点 * @param node 添加的节点 * @param pointer 指针节点，初始指向根节点 */ public void add(BSTNode node, BSTNode pointer){ if (node == null){ return; } if (pointer.value > node.value){//指针节点值大于添加节点值时 //如果指针节点的左节点刚好为空，则将添加节点插入到该左节点 if (pointer.left == null){ pointer.left = node; }else { //如果不是则继续往左节点走 add(node, pointer.left); } }else {//指针节点值小于添加节点值时 //如果指针节点的右节点刚好为空，则将添加节点插入到该右节点 if (pointer.right == null){ pointer.right = node; }else { //如果不是则继续往右节点走 add(node, pointer.right); } } } //根据value值查找节点 public BSTNode searchNode(int value){ if (root == null){ return null; } return searchNode(value, root); } /** * 根据value值查找节点 * @param value 查找的节点 * @param node 查找的树 * @return */ public BSTNode searchNode(int value, BSTNode node){ //如果当前节点的值等于value时，则返回该节点 if (node.value == value) { return node; } else if (node.value > value){//当前节点的值大于value时 //如果该节点的左节点为空，则表示二叉排序树内没有该值的节点，返回空 if (node.left == null) return null; //左节点不为空，继续往左子树查找 return searchNode(value, node.left); }else {//当前节点的值小于value时 //如果该节点的右节点为空，则表示二叉排序树内没有该值的节点，返回空 if (node.right == null) return null; //右节点不为空，继续往右子树查找 return searchNode(value, node.right); } } public void delete(int value){ //判断删除节点在二叉排序树中是否存在 BSTNode node = searchNode(value); if (node == null){ throw new RuntimeException("二叉排序树内无对应节点"); } //将删除后新的二叉排序树更换掉原先二叉排序树 root = delete(value, root); } /** * 根据value值删除节点 * 删除节点可能有的3种状态： * 1.该节点是叶子节点 * 2.该节点只有左子树或只有右子树 * 3.该节点左子树和右子树都有 * @param value 要删除节点的value值 */ public BSTNode delete(int value, BSTNode node){ if (value < node.value){//当查找节点值小于当前节点值 //向左子树递归遍历，并将删除后的新的左子树连接到左节点位置代替原先左子树 node.left = delete(value, node.left); //返回删除后新的树 return node; }else if(value > node.value){//当查找节点值大于当前节点值 //向右子树递归遍历，并将删除后的新的右子树连接到右节点位置代替原先右子树 node.right = delete(value, node.right); //返回删除后新的树 return node; }else {//当查找节点值等于当前节点值时，即当前节点就是要删除的节点 //删除节点时叶子节点的状态 if (node.left == null && node.right == null){ //直接将该节点设为空 return null; } //删除节点左子树为空，右子树不为空的状态 else if (node.left == null && node.right != null){ //保存删除节点的右子树 BSTNode rightSubTree = node.right; //将删除节点的右子树设为空，使得该节点能够尽早被垃圾回收 node.right = null; //返回删除节点的右子树，连接到删除节点的父节点 return rightSubTree; } //删除节点右子树为空，左子树不为空的状态 else if (node.right == null && node.left != null){ BSTNode leftSubTree = node.left; node.left = null; return leftSubTree; } //删除节点的左子树和右子树都不为空的状态 //这里我们使用的是左子树的最大值节点代替的方法 else { //获取左子树的最大值节点并从左子树中删除它 BSTNode max = max(node.left); //将该最大值节点的左子树和右子树设置为该节点的左子树和右子树 max.left = delMax(node.left); max.right = node.right; //将删除节点的左子树和右子树设为空，使得该节点能够尽早被垃圾回收 node.left = null; node.right = null; //执行完删除操作后，返回以最大值节点为根节点的新的树，连接的删除节点的父节点 return max; } } } /** * 查找传入节点树下value值最大的节点并删除该节点 * @param node * @return */ public BSTNode delMax(BSTNode node){ if (node.right != null){ node.right = delMax(node.right); return node; }else { BSTNode leftSubTree = node.left; node.left = null; return leftSubTree; } } /** * 查找传入节点树下value值最大的节点并放回该节点 * 在二叉排序树中最大值的节点就是最右叶子节点 * @param node * @return */ public BSTNode max(BSTNode node){ BSTNode max = node; while (max.right != null){ max = max.right; } return max; } public void midOrder(){ if (root != null){ midOrder(root); }else { System.out.println("二叉顺序树为空，无法遍历"); } } //中序遍历 public void midOrder(BSTNode node){ if (node.left != null){ midOrder(node.left); } System.out.println(this); if (node.right != null){ midOrder(node.right); } } } //二叉排序树节点 class BSTNode{ int value; BSTNode left; BSTNode right; public BSTNode(int value){ this.value = value; } @Override public String toString() { return "BSTNode{" + "value=" + value + '}'; } }
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