“一些”恒等式
其实到目前就写了俩……见到的话可能还会更新吧，不过马上就退役了，大概也见不到了
婆罗摩笈多－斐波那契恒等式
\[\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\end{aligned}
\]
\]
证明
将式子展开即可。
\[\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+2a^2b^2c^2d^2-2a^2b^2c^2d^2\\&=(a^2c^2+b^2d^2+2a^2b^2c^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2-2a^2b^2c^2d^2)\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\&=(a^2c^2+b^2d^2-2a^2b^2c^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2+2a^2b^2c^2d^2)\\&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\end{aligned}
\]
\]
拉格朗日恒等式
\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)=(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2+\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2
\]
\]
证明
用非常复杂的方法证明了这东西……
首先：
-
\(\sum\limits_{1\le i<j\le n}x=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nx\)
容易理解……
-
\((\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2=\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j\)
表示多项的平方和为每项的平方加上任意两项之间的的乘积的 \(2\) 倍的和
然后化简式子：
\[\begin{aligned}&(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)-(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}a_i^2b_{j}^2-(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\\=&(\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_i^2b_j^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_j^2b_i^2)-(\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j)\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_i^2b_j^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_j^2b_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ia_jb_ib_j)\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n(a_ib_j-a_jb_i)^2\\=&\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\end{aligned}
\]
\]
证毕。
用拉格朗日恒等式证明柯西不等式
柯西不等式的形式如下：
\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)\geq (\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2
\]
\]
现在我们已知拉格朗日恒等式成立，即
\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)=(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2+\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2
\]
\]
又因为 \(\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\) 的值 \(\ge0\)，所以有
\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)\geq (\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2
\]
\]
即柯西不等式。
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