\(n\)是正整数，其四个最小的因子分别为\(d_1,d_2,d_3,d_4\)。

求对于所有的\(n \le m\)满足

\[d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=n
\]

的\(n\)的个数。

这是一道数竞题，下面来求\(n\)。

显然\(d_1=1\)，则\(n=1+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)。

若\(n\)是奇数，则其因子都是奇数，其平方和为四个奇数相加为偶数，矛盾。故n为偶数，\(d_2=2\)，则\(n-5=d_3^2+d_4^2\)。

此时，\(d_3\)只可能是\(3,4\)或者大于\(4\)的质数

  • 若\(d_3=3\)，则\(d_4=4\)或\(d_4=6\)，验算得不存在这样的\(n\)
  • 若\(d_3=4\)，则由奇偶性可得，\(d_4\)一定为奇数，所以\(d_4^2 \equiv 1(\mbox{mod } 4)\)，但\(n-5-d_3^2=n-21 \equiv 3(\mbox{mod }4)\)，所以矛盾。

所以\(n\)只能是一个大于\(4\)的质数，且\(d_4=2d_3\)，故\(n-5=5d_3^2 \Longrightarrow n=5(d_3^2+1)\)。故\(5 \nmid n\)，即\(d_3=5,d_4=10\)，得\(n=130\)。故\(\forall n \in \mathbb{N^+}\)只有\(n=130\)符合题意。

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  10. #define IL inline
  11. #define re register
  12. #define LL long long
  13. #define ULL unsigned long long
  14. #define re register
  15. #define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);
  16. using namespace std;
  18. template<class T>inline void read(T&x)
  19. {
  20.     char ch=getchar();
  21.     while(!isdigit(ch))ch=getchar();
  22.     x=ch-'0';ch=getchar();
  23.     while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
  24. }
  25. inline LL read()
  26. {
  27. 	int x=0;
  28.     char ch=getchar();
  29.     while(!isdigit(ch))ch=getchar();
  30.     x=ch-'0';ch=getchar();
  31.     while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
  32.     return x;
  33. }
  34. int G[55];
  35. template<class T>inline void write(T x)
  36. {
  37.     int g=0;
  38.     if(x<0) x=-x,putchar('-');
  39.     do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);
  40.     for(re int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');
  41. }
  42. LL n;
  43. int main()
  44. {
  45. 	n=read();
  46. 	if(n>=130) cout<<1<<endl;
  47. 	else cout<<0<<endl;
  48. 	return 0;
  49. }

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