《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，优化SMO

薄雾浓云愁永昼，瑞脑销金兽。

愁的很，上次不是更新了一篇关于支持向量机的文章嘛，《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，单手狂撕线性SVM。虽然效果还算不错，数据集基本都能够分类正确，模型训练效率的话也还说的过去，但这是基于我们训练样本数据集比较少、迭代次数比较少的前提下。

假如说我们数据集比较大，而且还需要迭代不少次数的话，上一篇文章中使用到的SMO算法的效率可就不敢恭维了，训练的速度可堪比龟龟。月黑风高夜，杀人放火天。不对不对，月黑风高夜，疯狂肝文时。既然一般的SMO算法的效率低下，那怎么说也得进一步优化才行呐。

就在前几天还听见收音机上说，国内外有许多如雷贯耳的大佬都在不断研究新算法来进一步提高SMO算法的训练效率。闻此一言，Taoye心中大喜：”如果我能蹦跶出一个新的优化算法，哥哥我声名远扬的大好机会就来了啊，雄霸天下的抱负就指日可待了啊！哈哈哈哈！！！”想法虽好，可是该怎么优化呢？在这薄雾浓云、月黑风高之夜，Taoye的思绪漫天飞，愁的很。

有心栽花花不开，无心插柳柳成荫。

明明已经知道SMO算法待优化的地方太多了，可是就是不知如何下手，想了老半天，脑阔疼的厉害。此刻实验室空无一人，Taoye转着座椅，双目望向窗外，皎洁的月光总是给人无限遐想。

罢了罢了，与其木讷在这有心栽花花不开，倒不如出去转悠转悠，说不定能捕获个意想不到的收获，给我来了无心插柳柳成荫呢？说走咱就走哇（调调有点不对劲~~），关上空调，披件外套，锁上室门，双手插袋朝外走去。

或许是空调吹太久了，亦或实验室呆太久了，出来的瞬间一股神清气爽的感觉涌上心头，五音不全的我此时还真想高歌一曲。顷之，微凉，好在出门前披了件外套。活动活动筋骨，朝湖边走去。走着走着，不知不觉来到了步行桥，风平浪静的湖面，没有一丝波纹荡起。左转，低头看着湖面中胡子拉碴且憔悴的自己，此时我的眼角又再一次。。。┭┮﹏┭┮ 。。抬头看着湖边零星几对小情侣，或有说有笑、或呢喃窃语、或打情骂俏，滋滋滋，有点儿意思，只有我只身一人还在想着如何优化SMO算法。

等会儿。。。小情侣？？？优化SMO？？？

我记得在前面那篇文章中写到的SMO算法的核心思想里，正是不断迭代成双成对的\(\alpha_i\)和\(\alpha_j\)，只不过那个时候的这对“小情侣”是随意配对，所以导致的排列组合的可能性太多，从而拉低了整个模型训练的效率。假如说，我那个时候选取这对“小情侣”的时候并不是无意的，而是有意识、有条件的去选取，不就可以避开大量没必要的可能性计算么，这样一来不就可以大大提高模型的训练效率了么？？？

握了一棵草，乖乖，我真是个天才，这都被我想到了？？？心头灵光一闪，犹如饥渴春笋听到的第一声惊雷，屁颠屁颠的朝实验室跑去，而一对对小情侣异样且诧异的眼神朝我看来。。。

上述内容部分虚构，仅做引出下文之用。

在这之前，我们先静下心来分析一下上篇文章中SMO的核心算法：

上图是我们在讲解手撕线性SVM中所写到的linear_smo方法，详细请看：《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，单手狂撕线性SVM。其中Taoye圈出了三个代码块来给大家介绍下：

第一个代码块，我们可以发现代码行为for i in range(m):，想必大家都知道这是一个循环语句，在这个方法中它具体表达的意思是根据样本数量一次选取索引\(i\)，然后通过这个索引来确定\(\alpha_i\)的选择，所以它最终会把所有的样本都“走一遍”。

第二个代码块，是根据\(i\)的值重新在\(m\)中选取一个不与\(i\)相同的\(j\)，然后根据这个\(j\)来修改对应的\(\alpha_j\)

第三个就是我们大量的矩阵、向量进行计算的代码块了，我们可以发现，无论前两个\(i、j\)的选取是怎样的，第三个代码块都会去执行、计算，然而有些计算完全是没必要的，这样就大大拉跨了整个SMO算法的效率，这可不是我们想要的。

综上，我们需要在\(\alpha\)的选取上做点文章，使其在一定的跳过第三个代码块的计算。

• 第一个\(\alpha_i\)的选取

在上一篇文章中，我们也有提到，大多数样本对于决策面的确定都是无用的，只有少数部分的样本点才能确定具体的决策面。而\(\alpha\)与样本之间满足如下关系：

对于第一个\(\alpha_i\)的选取，初始化的\(\alpha\)向量为0，所以第一次迭代是对所有的样本点进行。待第一次迭代完成之后，此时的\(\alpha\)向量已经更新完成了，在之后的迭代过程中，我们就不需要对所有的样本进行遍历了，而是选取在\((0, C)\)区间的\(\alpha_i\)值即可，因为其他的\(\alpha\)值对于最终决策面的确定没有什么影响。

对于第一个\(\alpha_i\)的选取，核心代码思想如下所示，也就是我们的外层循环。其中data_struct是一个数据结构，其内部保存了一些公有地的属性，这个我们后面会讲：

"""
    Author：Taoye
    微信公众号：玩世不恭的Coder
    Explain：外层循环，选取第一个合适alpha
    Parameters：
        x_data: 样本属性特征矩阵
        y_label: 属性特征对应的标签
        C：惩罚参数
        toler：容错率
        max_iter：迭代次数
    Return:
        b: 决策面的参数b
        alphas：获取决策面参数w所需要的alphas
"""
def outer_smo(self, data_struct, x_data, y_label, C, toler, max_iter):
	iter_num, ergodic_flag, alpha_optimization_num = 0, True, 0
	while (iter_num < max_iter) and ((alpha_optimization_num > 0) or (ergodic_flag)):
		alpha_optimization_num = 0
		if ergodic_flag:
			for i in range(data_struct.m):
				alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
				print("遍历所有样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
			iter_num += 1
		else:
			no_zero_index = np.nonzero((data_struct.alphas.A > 0) * (data_struct.alphas.A < C))[0]
			for i in no_zero_index:
				alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
				print("非边界遍历样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
			iter_num += 1
		if ergodic_flag: ergodic_flag = False
		elif alpha_optimization_num == 0: ergodic_flag = True
		print("迭代次数：%d" % iter_num)
	return data_struct.b, data_struct.alphas

• 第二个\(\alpha_j\)的选取

对于第二个\(\alpha_j\)，我们不妨先分析一下前篇文章中SMO算法最终优化之后的\(\alpha_2^{new}\)：

我们可以发现\(\alpha_2\)主要是靠更新迭代来进行优化，而\(\alpha_2^{old}\)是已知的，我们没有选择的权利，但是\(\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta}\)这一部分的值我们是可控的，也就是说我们要选择合适的\(\alpha_j\)来使得后一部分的值尽可能的大，从而达到快速修改\(\alpha\)向量的目的，才能更快速的实现训练饱和。

简单来说就是\(\alpha_2^{new}\)的变化依赖于\(|E_1-E_2|\)，当该绝对值越大，\(\alpha_2\)的变化也就越大。也就是说，\(E_1\)为正的时候，我们的要选择尽可能小的\(E_2\)，\(E_1\)为负的时候，我们要选择尽可能大的\(E_2\)。根据这个思想我们就能让这对“小情侣”完美的配对了，美滋滋~~

对于第一个\(\alpha_i\)的选取，核心代码思想如下所示，也就是我们的内层循环的所需要选取\(\alpha_j\)内容：

def select_appropriate_j(self, i, data_struct, E_i):
	max_k, max_delta_E, E_j = -1, 0, 0
	data_struct.E_cache[i] = [1, E_i]
	valid_E_cache_list = np.nonzero(data_struct.E_cache[:, 0].A)[0]
	if (len(valid_E_cache_list) > 1):
		for k in valid_E_cache_list:
			if k == i: continue
			E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)
			delta_E = abs(E_i - E_k)
			if (delta_E > max_delta_E): max_k, max_delta_E, E_j = k, delta_E, E_k
		return max_k, E_j
	else: 
		j = self.random_select_alpha_j(i, data_struct.m)
		E_j = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, j)
	return j, E_j

为了方便我们使用有关数据集和模型的一些公共资源，以及方便对它们进行操作，我们需要单独封装一个数据结构（当然了，不封装也没什么问题），该数据结构有关属性解释如下：

1. x_data：etablish_data随机生成数据集中的属性矩阵
2. y_label：etablish_data随机生成数据集中的标签
3. C：惩罚参数
4. toler：容错率
5. m：数据样本数
6. alphas：SMO算法所需要训练的\(\alpha\)向量
7. b：SMO算法所需要训练的\(b\)参数
8. E_cache：用于保存误差，第一列为有效标志位，第二列为样本索引对应的误差E

此外，为了提高代码的扩展性和灵活性，还单独抽离了一个方法update_E_k，主要用于更新data_struct对象中的E_cache属性：

def update_E_k(self, data_struct, k):
	E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)                                        #计算Ek
	data_struct.E_cache[k] = [1,E_k]

完整代码：

import numpy as np
import pylab as pl
from matplotlib import pyplot as plt

class DataStruct:
	def __init__(self, x_data, y_label, C, toler):
		self.x_data = x_data
		self.y_label = y_label
		self.C = C
		self.toler = toler
		self.m = x_data.shape[0]
		self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m, 1)))
		self.b = 0
		self.E_cache = np.mat(np.zeros((self.m, 2)))

class OptimizeLinearSVM:
	def __init__(self):
		pass

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 用于生成训练数据集
	    Parameters:
	        data_number: 样本数据数目
	    Return:
	        x_data: 数据样本的属性矩阵
	        y_label: 样本属性所对应的标签
	"""
	def etablish_data(self, data_number):
		np.random.seed(38)
		x_data = np.concatenate((np.add(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3]),       
	                             np.subtract(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3])),
	                             axis = 0)      # random随机生成数据，+ -3达到不同类别数据分隔的目的 
		temp_data = np.zeros([data_number])
		temp_data.fill(-1)
		y_label = np.concatenate((temp_data, np.ones([data_number])), axis = 0)
		return x_data, y_label

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 随机选取alpha_j
	    Parameters:
	        alpha_i_index: 第一个alpha的索引
	        alpha_number: alpha总数目
	    Return:
	        alpha_j_index: 第二个alpha的索引
	"""
	def random_select_alpha_j(self, alpha_i_index, alpha_number):
		alpha_j_index = alpha_i_index
		while alpha_j_index == alpha_i_index:
			alpha_j_index = np.random.randint(0, alpha_number)
		return alpha_j_index

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 使得alpha_j在[L, R]区间之内
	    Parameters:
	        alpha_j: 原始alpha_j
	        L: 左边界值
	        R: 右边界值
	    Return:
	        L,R,alpha_j: 修改之后的alpha_j
	"""
	def modify_alpha(self, alpha_j, L, R):
		if alpha_j < L: return L
		if alpha_j > R: return R
		return alpha_j

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 计算误差并返回
	"""
	def calc_E(self, alphas, y_label, x_data, b, i):
		f_x_i = float(np.dot(np.multiply(alphas, y_label).T, x_data * x_data[i, :].T)) + b
		return f_x_i - float(y_label[i])

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 计算eta并返回
	"""
	def calc_eta(self, x_data, i, j):
		eta = 2.0 * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
	            - x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
	            - x_data[j, :] * x_data[j,:].T
		return eta

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 计算b1, b2并返回
	"""
	def calc_b(self, b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j):
		b1 = b - E_i \
	         - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
	         - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T
		b2 = b - E_j \
	         - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
	         - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[j, :] * x_data[j, :].T
		return b1, b2

	def select_appropriate_j(self, i, data_struct, E_i):
		max_k, max_delta_E, E_j = -1, 0, 0
		data_struct.E_cache[i] = [1, E_i]
		valid_E_cache_list = np.nonzero(data_struct.E_cache[:, 0].A)[0]
		if (len(valid_E_cache_list) > 1):
			for k in valid_E_cache_list:
				if k == i: continue
				E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)
				delta_E = abs(E_i - E_k)
				if (delta_E > max_delta_E): max_k, max_delta_E, E_j = k, delta_E, E_k
			return max_k, E_j
		else: 
			j = self.random_select_alpha_j(i, data_struct.m)
			E_j = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, j)
		return j, E_j

	def update_E_k(self, data_struct, k):
		E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)                                        #计算Ek
		data_struct.E_cache[k] = [1,E_k]
	
	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: smo内层
	"""
	def inner_smo(self, i, data_strcut):
		E_i = self.calc_E(data_strcut.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, i)      # 调用calc_E方法计算样本i的误差
		if ((data_struct.y_label[i] * E_i < -data_struct.toler) and (data_struct.alphas[i] < data_struct.C)) or ((data_struct.y_label[i] * E_i > data_struct.toler) and (data_struct.alphas[i] > 0)):
			j, E_j = self.select_appropriate_j(i, data_strcut, E_i)              # 选取一个恰当的j
			alpha_i_old, alpha_j_old = data_struct.alphas[i].copy(), data_struct.alphas[j].copy()
			if (data_struct.y_label[i] != data_struct.y_label[j]):               # 确保alphas在[L, R]区间内
				L, R = max(0, data_struct.alphas[j] - data_struct.alphas[i]), min(data_struct.C, data_struct.C + data_struct.alphas[j] - data_struct.alphas[i])
			else:
				L, R = max(0, data_struct.alphas[j] + data_struct.alphas[i] - data_struct.C), min(data_struct.C, data_struct.alphas[j] + data_struct.alphas[i])
			if L == R: print("L==R"); return 0          # L==R时选取下一个样本
			eta = self.calc_eta(data_struct.x_data, i, j)                  # 计算eta值
			if eta >= 0: print("eta>=0"); return 0
			data_struct.alphas[j] -= data_struct.y_label[j] * (E_i - E_j) / eta
			data_struct.alphas[j] = self.modify_alpha(data_struct.alphas[j], L, R)     # 修改alpha[j]
			self.update_E_k(data_strcut, j)
			if (abs(data_strcut.alphas[j] - alpha_j_old) < 0.000001): print("alpha_j修改太小了"); return 0
			data_struct.alphas[i] += data_strcut.y_label[j] * data_strcut.y_label[i] * (alpha_j_old - data_strcut.alphas[j])
			self.update_E_k(data_strcut, i)
			b1, b2= self.calc_b(data_struct.b, data_struct.x_data, data_struct.y_label, data_struct.alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j)    # 计算b值
			if (0 < data_struct.alphas[i]) and (data_struct.C > data_struct.alphas[i]): data_struct.b = b1
			elif (0 < data_struct.alphas[j]) and (data_struct.C > data_struct.alphas[j]): data_struct.b = b2
			else: data_struct.b = (b1 + b2)/2.0
			return 1
		else: return 0

	"""
	    Author：Taoye
	    微信公众号：玩世不恭的Coder
	    Explain：外层循环，选取第一个合适alpha
	    Parameters：
	        x_data: 样本属性特征矩阵
	        y_label: 属性特征对应的标签
	        C：惩罚参数
	        toler：容错率
	        max_iter：迭代次数
	    Return:
	        b: 决策面的参数b
	        alphas：获取决策面参数w所需要的alphas
	"""
	def outer_smo(self, data_struct, x_data, y_label, C, toler, max_iter):
		iter_num, ergodic_flag, alpha_optimization_num = 0, True, 0
		while (iter_num < max_iter) and ((alpha_optimization_num > 0) or (ergodic_flag)):
			alpha_optimization_num = 0
			if ergodic_flag:
				for i in range(data_struct.m):
					alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
					print("遍历所有样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
				iter_num += 1
			else:
				no_zero_index = np.nonzero((data_struct.alphas.A > 0) * (data_struct.alphas.A < C))[0]
				for i in no_zero_index:
					alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
					print("非边界遍历样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
				iter_num += 1
			if ergodic_flag: ergodic_flag = False
			elif alpha_optimization_num == 0: ergodic_flag = True
			print("迭代次数：%d" % iter_num)
		return data_struct.b, data_struct.alphas

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 根据公式计算出w权值向量
	    Parameters:
	        x_data: 样本属性特征矩阵
	        y_label: 属性特征对应的标签
	        alphas：linear_smo方法所返回的alphas向量
	    Return:
	        w: 决策面的参数w
	"""
	def calc_w(self, x_data, y_label, alphas):
		x_data, y_label, alphas = np.array(x_data), np.array(y_label), np.array(alphas)
		return np.dot((np.tile(y_label.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * x_data).T, alphas).tolist()

	"""
	    Author: Taoye
	    微信公众号: 玩世不恭的Coder
	    Explain: 绘制出分类结果
	    Parameters:
	        x_data: 样本属性特征矩阵
	        y_label: 属性特征对应的标签
	        w：决策面的w参数
	        b：决策面的参数b
	"""
	def plot_result(self, x_data, y_label, w, b):
		data_number, _ = x_data.shape; middle = int(data_number / 2)
		plt.scatter(x_data[:, 0], x_data[:, 1], c = y_label, cmap = pl.cm.Paired)
		x1, x2 = np.max(x_data), np.min(x_data)
		w1, w2 = w[0][0], w[1][0]
		y1, y2 = (-b - w1 * x1) / w2, (-b - w1 * x2) / w2
		plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1), float(y2)])    # 绘制决策面
		for index, alpha in enumerate(alphas):
			if alpha > 0:
				b_temp = - w1 * x_data[index][0] - w2 * x_data[index][1]
				y1_temp, y2_temp = (-b_temp - w1 * x1) / w2, (-b_temp - w1 * x2) / w2
				plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1_temp), float(y2_temp)], "k--")    # 绘制支持向量
				plt.scatter(x_data[index][0], x_data[index][1], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=2, edgecolor='red')   # 圈出支持向量
		plt.show()

if __name__ == '__main__':
	optimize_linear_svm = OptimizeLinearSVM()
	x_data, y_label = optimize_linear_svm.etablish_data(50)
	data_struct = DataStruct(np.mat(x_data), np.mat(y_label).T, 0.8, 0.00001)
	b, alphas = optimize_linear_svm.outer_smo(data_struct, x_data, y_label, data_struct.C, data_struct.toler, 10)
	w = optimize_linear_svm.calc_w(x_data, y_label, alphas)
	optimize_linear_svm.plot_result(x_data, y_label, w, b)

优化后的分类结果：

这期的内容没那么多，主要是优化了一下上期内容中的SMO算法，从而在一定程度上提高模型的训练效率，由于是手动实现该线性SVM算法，所以模型可能达不到那些框架内置的性能，有兴趣的读者可自行慢慢优化。

关于线性SVM应该就暂时写到这里了，后期的话应该会更新非线性相关的内容。

我是Taoye，爱专研，爱分享，热衷于各种技术，学习之余喜欢下象棋、听音乐、聊动漫，希望借此一亩三分地记录自己的成长过程以及生活点滴，也希望能结实更多志同道合的圈内朋友，更多内容欢迎来访微信公主号：玩世不恭的Coder

参考资料：

[1] 《机器学习实战》：Peter Harrington 人民邮电出版社
[2] 《统计学习方法》：李航 第二版 清华大学出版社

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