机器学习5-线性回归
线性回归
什么是线性回归
定义与公式
线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
- 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
线性回归的特征与目标的关系分析
线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。
- 线性关系
如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系
- 非线性关系
线性回归的损失和优化原理
假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系
真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）
随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率
请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子
那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来
损失函数
总损失定义为：
- y_i为第i个训练样本的真实值
- h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 又称最小二乘法
如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！
优化算法
正规方程
理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果
梯度下降
理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向
沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果
我们通过两个图更好理解梯度下降的过程
所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了”自动学习”的能力
优化动态图演示
线性回归API
-
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
- 通过正规方程优化
- fit_intercept：是否计算偏置
- LinearRegression.coef_：回归系数
- LinearRegression.intercept_：偏置
-
sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=”squared_loss”, fit_intercept=True, learning_rate =’invscaling’, eta0=0.01)
- SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
- loss:损失类型
- loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
- fit_intercept：是否计算偏置
- learning_rate : string, optional
- 学习率填充
- ‘constant’: eta = eta0
- ‘optimal’: eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
- ‘invscaling’: eta = eta0 / pow(t, power_t)
- power_t=0.25:存在父类当中
- 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
- SGDRegressor.coef_：回归系数
- SGDRegressor.intercept_：偏置
案例-波士顿房价
数据介绍
分析
回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。
- 数据分割与标准化处理
- 回归预测
- 线性回归的算法效果评估
回归性能评估
均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：
y^i为预测值，¯y为真实值
sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
- 均方误差回归损失
- y_true:真实值
- y_pred:预测值
- return:浮点数结果
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
def linear1():
"""
正规方程的优化方法对波士顿房价预测
"""
#获取数据
boston=load_boston()
print("特征个数：\n",boston.data.shape)
#划分数据集
x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
#标准化
transfer=StandardScaler()
x_train=transfer.fit_transform(x_train)
x_test=transfer.transform(x_test)
#预估器
estimator=LinearRegression()
estimator.fit(x_train,y_train)
#得出模型
print("正规方程-权重系数为：\n",estimator.coef_)
print("正规方程-偏置为：\n",estimator.intercept_ )
#模型评估
y_predict=estimator.predict(x_test)
print("预测房价：\n",y_predict)
error=mean_squared_error(y_test,y_predict)
print("正规方程-均方差误差:\n",error)
return None
def linear2():
"""
梯度下降的优化方法对波士顿房价预测
"""
#获取数据
boston=load_boston()
#划分数据集
x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
#标准化
transfer=StandardScaler()
x_train=transfer.fit_transform(x_train)
x_test=transfer.transform(x_test)
#预估器
estimator=SGDRegressor()
estimator.fit(x_train,y_train)
#得出模型
print("梯度下降-权重系数为：\n",estimator.coef_)
print("梯度下降-偏置为：\n",estimator.intercept_ )
#模型评估
y_predict = estimator.predict(x_test)
print("预测房价：\n", y_predict)
error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
print("梯度下降-均方差误差:\n", error)
return None
if __name__ == '__main__':
linear1()
linear2()
结果为：
正规方程和梯度下降对比
总结
- 线性回归的损失函数-均方误差
-
线性回归的优化方法线性回归的性能衡量方法-均方误差
- 正规方程
- 梯度下降
- sklearn的SGDRegressor API 参数