• 文章转载自：微信公众号「机器学习炼丹术」
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本次的内容主要讲解NCCNormalized cross-correlation 归一化互相关。

两张图片是否是同一个内容，现在深度学习的方案自然是用神经网络，比方说：孪生网络的架构做人面识别等等；

在传统的非参数方法中，常见的也有相关系数等。我在上一片文章voxelmorph的模型的学习中发现，在医学图像配准任务（不限于医学），衡量两个图片相似的度量有一种叫做NCC的

而这个NCC就是Normalized Cross-Correlation归一化互相关系数。

1 互相关系数

如果你知道互相关系数，那么你就能很好的理解归一化互相关系数。

相关系数的计算公式如下：

公式中的X，Y分别表示两个图片，\(Cov(X,Y)\)表示两个图片的协方差，\(Var(X)\)表示X自身的方差；

2 归一化互相关NCC

如果把一张图片，按照一定的像素，比方说9×9的一个框滑动，那么就可以把图片分成很多的9×9的小图片，那么NCC就是X，Y两张大图片中的对应的小图片的互相关系数的平均值。

这里看一下协方差的计算方式：
\(Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)

方差的计算为：
\(Var(X) = E[(X-E(X))^2]\)

其实NCC不难理解，但是如何用代码计算呢？当然我们可以一行一行遍历求解，但是这样时间复杂度过高，所以我们做好还是选择矩阵运算。

3 NCC损失函数的代码

class NCC:
    """
    Local (over window) normalized cross correlation loss.
    """

    def __init__(self, win=None):
        self.win = win

    def loss(self, y_true, y_pred):

        I = y_true
        J = y_pred

        # get dimension of volume
        # assumes I, J are sized [batch_size, *vol_shape, nb_feats]
        ndims = len(list(I.size())) - 2
        assert ndims in [1, 2, 3], "volumes should be 1 to 3 dimensions. found: %d" % ndims

        # set window size
        win = [9] * ndims if self.win is None else self.win

        # compute filters
        sum_filt = torch.ones([1, 1, *win]).to("cuda")

        pad_no = math.floor(win[0]/2)

        if ndims == 1:
            stride = (1)
            padding = (pad_no)
        elif ndims == 2:
            stride = (1,1)
            padding = (pad_no, pad_no)
        else:
            stride = (1,1,1)
            padding = (pad_no, pad_no, pad_no)

        # get convolution function
        conv_fn = getattr(F, 'conv%dd' % ndims)

        # compute CC squares
        I2 = I * I
        J2 = J * J
        IJ = I * J

        I_sum = conv_fn(I, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J_sum = conv_fn(J, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        I2_sum = conv_fn(I2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J2_sum = conv_fn(J2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        IJ_sum = conv_fn(IJ, sum_filt, stride=stride, padding=padding)

        win_size = np.prod(win)
        u_I = I_sum / win_size
        u_J = J_sum / win_size

        cross = IJ_sum - u_J * I_sum - u_I * J_sum + u_I * u_J * win_size
        I_var = I2_sum - 2 * u_I * I_sum + u_I * u_I * win_size
        J_var = J2_sum - 2 * u_J * J_sum + u_J * u_J * win_size

        cc = cross * cross / (I_var * J_var + 1e-5)

        return -torch.mean(cc)

这段代码其实不是很好看懂，我思考了很久才明白。其中的关键就在于如何理解:

# compute CC squares
        I2 = I * I
        J2 = J * J
        IJ = I * J

        I_sum = conv_fn(I, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J_sum = conv_fn(J, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        I2_sum = conv_fn(I2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J2_sum = conv_fn(J2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        IJ_sum = conv_fn(IJ, sum_filt, stride=stride, padding=padding)

        win_size = np.prod(win)
        u_I = I_sum / win_size
        u_J = J_sum / win_size

        cross = IJ_sum - u_J * I_sum - u_I * J_sum + u_I * u_J * win_size
        I_var = I2_sum - 2 * u_I * I_sum + u_I * u_I * win_size
        J_var = J2_sum - 2 * u_J * J_sum + u_J * u_J * win_size

我们可以才到，这个cross应该是协方差部分，I_var和J_var是方差部分。

我们对协方差公式进行推导：\(Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)
\(=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]\)

这样刚好和cross对应上。

• IJ_sum = E[XY]
• u_J * I_sum = E[XE(Y)]
• u_I * u_J * win_size = E[E(X)E(Y)]

对方差公式进行推导：\(Var(X) = E[(X-E(X))^2]=E[X^2-2XE(X)+E(X)^2]\)

• J2_sum = E(X^2)
• 2 * u_J * J_sum = E[2XE(X)]
• u_J * u_J * win_size = E[E(X)^2]