线性规划问题

  在一组线性约束条件下的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在这里插入图片描述

线性规划标准型

  • 数学标准型：在这里插入图片描述

    可行解：满足约束条件的解矩阵x=[x1,x2,x3,..,xn]。

    最优解：是目标函数达到最大值或者最小值的可行解。

    可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行解，记为R。

  • matlab标准型：在这里插入图片描述

    • f,x,b,beq,lb,ub为列向量
    • f称为价值向量
    • b称为资源向量
    • A，Aeq为矩阵

Matlab线性规划函数——linprog

>> help linprog
linprog - Solve linear programming problems

    This MATLAB function solves min f'*x such that A*x ≤ b.

    x = linprog(f,A,b)
    x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
    x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
    x = linprog(problem)
    [x,fval] = linprog(___)
    [x,fval,exitflag,output] = linprog(___)
    [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(___)

    另请参阅 intlinprog, mpsread, optimoptions, quadprog

    linprog 的参考页
  • x:返回决策向量的取值
  • fval返回目标函数的最优解
  • f为价值向量
  • A和b对应线性不等式约束
  • Aeq和beq对应线性等式约束
  • lb和ub分别对应决策向量的下界向量和上界向量
  • options是控制参数

例题讲解

在这里插入图片描述

  1. 题目分析：

      这里求解的最优解是最大值，而matlab里面的标准函数是求最小值为最优解，因此需要对题目进行变形。另外，对最优解的约束同样需要进行整理称为matlab的使用形式。整理结果如下：

    在这里插入图片描述

  2. Matlab****程序实现

    f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x,y=-y				%由于之前将求max最优解变形称为了min，这里的y要求相反的值

    输出结果：

    x=3x1
	6.4286
	0.5714
		 0
y=14.5714

在这里插入图片描述

  1. 题目分析

    这个题目里面求的最优解为最小值，因此不需要进行转换，只需要对约束条件进行转换即可。在约束条件中，只有线性不等式约束以及决策向量下界向量，没有线性等式约束。转换结果如下：在这里插入图片描述

  2. 程序实现

    f=[2;3;1];    %价值向量是列向量
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
aeq=[];
beq=[];
[x,y]=linprog(f,-a,-b,aeq,beq,zeros(3,1))	%一定要注意这里的符号

  3. 特别说明：一定要记住matlab的线性规划标准函数的形式，标准形式里面只有小于等于号，如果程序出现大于号一定要进行变换！！！

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