回顾Games101 chatper1 – 6

前言

本文只写回顾后重新加深认识的知识

透视除法的意义

经过MVP矩阵之后，将模型空间下某点的坐标，转换成了裁剪空间下的坐标，此时因为裁剪空间的范围是x∈[-W/2，W/2]和y∈[-H/2，H/2]，所以经过以下两个变换，其中除以pz就是透视除法
一：

二：

只有当W=1，这个三维坐标转换是等价的，才能保证位移的量是正确的，W=0时，则没有位移

只有当W=1时，三维坐标点转换成四维齐次坐标点才是等价的

坐标系变换和矩阵推导

坐标系变换理解不直观，倾向于101中闫老师所说的理解坐标系的转换通过矩阵进行的线性变换，将A坐标系下的点P，乘上矩阵得出B坐标系下的点P’，以下是抛开常见的变换（如透视投影变换、正交投影变换等）如何得出变换矩阵M，通过矩阵变换（下文着重说明）

已知坐标系A和坐标系B

则将坐标系B中一点P从坐标系B变换到坐标系A的变换矩阵为：（注意此处的例子是将源坐标系A变换到目标坐标系B下）

如之前所说，变换过程中点p在空间中的绝对位置没有发生改变，只是参考坐标系发生了改变，从B坐标系变到A坐标系。（缩放，旋转，平移变换只有在同一坐标系下才有意义）

矩阵变换是基于基向量组的结果

• 矩阵变换之于同一个坐标系，可以理解为坐标系不变，点的位置改变
• 矩阵变换之于不同坐标系，可以理解为点的绝对位置不变，坐标系改变

其中，矩阵B的各个列向量分别对应B坐标系的各个基向量，\(
\left[ \begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array} \right]
\)是向量\(
\overrightarrow{OP}
\)或者说点P在B坐标系的表示，\(
\left[ \begin{array}{c}
x^{‘}\\
y^{‘}\\
\end{array} \right]
\)则是向量\(
\overrightarrow{OP}
\)或者点P在A坐标系中的表示

以图中的两个向量\(
\overrightarrow{b_1}
\)，\(
\overrightarrow{b_2}
\)为基确定一个坐标系B，显然在B坐标系中\(
\overrightarrow{b_{1B}}=\left[ \begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array} \right]
\)，\(
\overrightarrow{b_{2B}}=\left[ \begin{array}{c}
0\\
1\\
\end{array} \right]
\)，接下来，将\(
\overrightarrow{b_1}
\)，\(
\overrightarrow{b_2}
\)定位到A坐标系中，得到\(
\overrightarrow{b_{1A}}=\left[ \begin{array}{c}
2\\
1\\
\end{array} \right]
\)，\(
\overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{array}{c}
-1\\
1\\
\end{array} \right]
\)

\(
\because \overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2}
\)

\(
\therefore \overrightarrow{OP}\)在B坐标系中的表示为\(
\left[ \begin{array}{c}
2\\
2\\
\end{array} \right]
\)，现在，将\(
\overrightarrow{OP}
\)用A坐标系描叙：
\(
\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2}=2\overrightarrow{b_{1A}}+2\overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{matrix}
\overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
2\\
2\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c}
2\\
4\\
\end{array} \right]
\\
\)
现在，令矩阵B=\(
\left[ \begin{matrix}
\overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\
\end{matrix} \right]
\)，P点是用B坐标系表示的任意一点\((x,y)\)。
于是\(
\overrightarrow{OP}
\)在A坐标系中的表示\(
\left[ \begin{array}{c}
^{x^{‘}}\\
y^{‘}\\
\end{array} \right] =B\left[ \begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array} \right]
\)，显然，B是可逆的，于是就有了之前的结论
那么在这个例子当中，当我们需要知道某点在转换坐标系后的新坐标时，通过该例子也可以加深印象，比如在B坐标系下有点\(Q(3,4)\)，即\(\overrightarrow{OQ}=(3,4)\)，跟据刚才的例子可以看出它转换在A坐标系下的点

即转换到A坐标系下的点\(Q^{‘}\)的坐标为\(Q^{‘}(6,9)\)

虽然这里的讨论是基于二维的，但是，结论可以扩展到任意维度

阐述结论：

将B坐标系的基向量定位到A坐标系，然后将定位之后的基向量作为矩阵B的列向量，用矩阵B对B坐标系中的点P的坐标进行矩阵变换，将得到点P在A坐标系中的坐标。这个过程，就是从坐标系B到坐标系A的一个追溯过程

View/Camera Transformation

先将相机移到原点，然后进行分别对坐标轴进行旋转，用矩阵表示则是\(M_{view}=R_{view}T_{view}\)

• 将相机移回原点

• \(Rotate\,\,g\,\,to\,\,-Z, t\,\,to\,\,Y, \left( g×t \right) \,\,To\,\,X\)
  g是相机看的方向（lookAt），t是相机向上的方向（Up），也就是相机的-Z轴和Y轴，两个向量叉积就是另一个坐标轴

旋转矩阵是正交矩阵，所以旋转矩阵的逆就是旋转矩阵的转置

正交投影矩阵

无论是正交投影还是透视投影，都是要将x、y、z移到-1到1的范围内，先将中心点移到原点，然后缩放

透视投影矩阵推导

首先先将frustum 转变为cuboid（n -> n,f -> f）(\(
M_{persp->ortho}
\)
)
然后再做正交投影

整个投影变换包括两部分

• v = P（矩阵）*p
• \(v=\frac{v}{v_w}=\frac{v}{pz}\)透视除法

以上大概推出等式这一步，接下来用公式展示更为直观

将右边的四维列向量表示的坐标每一项乘以z，所以有

所以求得矩阵为

因为z=zNear时，z”=-1；z=zFar时，z”=1所以有以下等式

联立求得：

最后求得投影矩阵为

将这样得矩阵乘以视锥体内的一个顶点坐标，得到一个新的向量，再将这个向量的每个分量除以第四个分量（此步骤也被称为透视除法）（w），这样就可以得到顶点映射到规则立方观察体后的新的坐标

注意：z坐标的映射方式的获得，最后我们是为了方便矩阵乘法的操作方向求得了z坐标与cvv中的z坐标的映射方式：

此时的映射并不是线性的，当z越大时，z的变化对z”的扰动越小

Canonical Cube to Screen

• Irrelevant to z
• Transform in xy plane : [-1, 1] to [0, width] × [0, height]
• Viewport transform matrix:

视口矩阵

深度z的计算

前言
3D光栅化发生在图元被变换到Screen space之后，因为这里的Screen space与2D的Screen Space完全一致，所以2D的光栅化算法在这里依然适用。

然而由于图元经过了投影变换，且投影变换为非线性变换，所以不能用简单的线性插值获取fragment的属性

为了执行z-buffer算法，需要通过点q获取到v的深度值(z)
点\(v\)的深度值可以通过如下方法插值得到：

以下是推导的过程：

手写版：

文字版：
由于点\(q\)为点\(v\)在near plane上的投影，因此点\(q\)与点\(v\)的关系为：

• \(q_x=\frac{v_x·near}{v_z}\)
  且\(v\)位于\(p0p1\)之间，则
• \(v_z=p0_{z}+t·(p1_z-p0_z)=\frac{v_x·near}{q_x}\)
  由点\(v\)在\(p0\)，\(p1\)之间，点\(q\)在\(s0\)，\(s1\)之间则有
• \(v_x=p0_{x}·(1-t)+p1_{x}·t=p0_{x}+t·(p1_{x}-p0_{x})\)
• \(q_x=s0_{x}·(1-c)+s1_{x}·c=s0_{x}+c·(s1_{x}-s0_{x})\)
  代入式(1)可得
  \(v_z=\frac{v_x·near}{q_x}=\frac{(p0_x+t·(p1_x-p0_x))·near}{s0_x+c·(s1_x-s0_x)}\)式(2)
  又s0和s1分别为p0和p1在near plane上的投影，则：
• \(s0_x=\frac{p0_x·near}{p1_z}\)
• \(s1_x=\frac{p1_x·near}{p1_z}\)
  代入式(2)可得：

化简得：

则：

代入式(1)可得

若View Space中三角形\(v0v1v2\)，变换到Screen Space后为三角形\(s0s1s2\)，\(v0v1v2\)内一点v在Screen Space的投影点\(s0s1s2\)内的点\(q\)，对三角形\(s0s1s2\)内的点（fragment）\(q\)，可以通过如下方法取得fragment\(q\)在View Space中对应的深度值：

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)为点p在三角形\(s0s1s2\)内的重心坐标
引入结论：
对Screen Space三角形\(s0,s1,s2\)内一点p的任意属性插值的公式为:

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)为点\(p\)的重心坐标，\(z0,z1,z2,z\)分别为\(s0,s1,s2,p\)在view space中对应点的深度值，可以用这个方法插值得到\(p\)在NDC Space内对应点的深度值

罗德里格斯旋转公式

字写得不好，在爬了…
手写版：

文字版：
首先先将\(\overrightarrow{k}\)处理成单位向量，这点很重要，关乎着下一步等式是否成立，有些博文写这里不需要处理单位向量，这是错的

可得

绕\(\overrightarrow{k}\)做旋转时，向下做垂线，可看作底部经过了类似半圆的旋转
要求得\(\overrightarrow{v_{rot}}=\overrightarrow{v_{||}}+\overrightarrow{v_{rot\bot}}\)，将\(\overrightarrow{v_{rot\bot}}\)作正交分解有\(
\overrightarrow{v_{rot\bot}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\)，易得\(
|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{v_{\bot}}|
\)，则有\(
\overrightarrow{w}=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v_{\bot}}=\overrightarrow{k}×\left[ \overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_{||}} \right] =\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}-\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v_{||}}=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}-0=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}
\)
接下来求\(
\overrightarrow{a}
\)和\(
\overrightarrow{b}
\)

把\(
\overrightarrow{k}
\)和\(
\overrightarrow{v}
\)分别写为列向量

令\(
\overrightarrow{v_{rot}}=R·\overrightarrow{v}
\)
两个式子

结合以上两个式子可得,其中\(I\)为3×3的单位矩阵

以下是比较通用的表示方式

部分引用的博文

https://blog.csdn.net/unclerunning/article/details/70948696#齐次坐标系与平移

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45757899