1、图的存储

• 设点数为n,边数为m

1.1、二维数组

• 方法：使用一个二维数组 adj 来存边，其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 u到 v的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 adj[u][v] 中存储u到v的边的边权。
• 复杂度:
  • 查询是否存在某条边：\(O(1)\)
  • 遍历一个点的所有出边：\(O(n)\)
  • 遍历整张图：\(O(n^2)\)
  • 空间复杂度：\(O(n^2)\)

1.2、邻接表

• 方法：使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector< int> adj[n + 1] 来存边，其中 adj[u] 存储的是点u的所有出边的相关信息（终点、边权等）；

• 复杂度:

  • 查询是否存在u到v的边：\(O(d^+(u))\)（如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) ）。
  • 遍历点u的所有出边：\(O(d^+(u))\)。
  • 遍历整张图：O(n+m)。
  • 空间复杂度：O(m)。

1.3、直接存边

• 方法：使用一个数组来存边，数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点（带边权的图还包含边权）。（或者使用多个数组分别存起点，终点和边权。）

  struct Edge{
  	int u,v;//边的端点
  	int w;//权重
  }Edges[MAXN];
  

• 复杂度:
  • 查询是否存在某条边：\(O(m)\)。
  • 遍历一个点的所有出边：\(O(m)\)。
  • 遍历整张图：\(O(nm)\)。
  • 空间复杂度：\(O(m)\)。
• 由于直接存边的遍历效率低下，一般不用于遍历图。在Kruskal算法 中，由于需要将边按边权排序，需要直接存边

1.4、链式前向星（本质是用数组模拟链表）

• 方法：本质是用数组模拟链表，主要有两个数组

  Edges[MAXN] 存储边的信息，包括两个端点、权重、下一条边在Edges中的索引；
  head[MAXN] head[i]为节点i的第一条出边在Edges中的序号；
  在插入边的时候维护一个tot变量记录总计的边的个数
  

• 复杂度：

  • 查询是否存在u到v的边：\(O(d^+(u))\)（如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) ）。
  • 遍历点u的所有出边：\(O(d^+(u))\)。
  • 遍历整张图：O(n+m)。
  • 空间复杂度：O(m)。

• 代码板子：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int MAXN = 1e6;
  struct Edge
  {//边结构体
  	int u,v;//边的端点；
  	int w;//权重
  	int nxt;//下一条边在Edge中的索引
  }Edges[MAXN];
  int head[MAXN];//每个节点出边
  int tot;//总的边数,随着边的增加而增加
  
  void init(int n){
  	tot=0;
  	//初始化head数组
  	for(int i=0; i<n; i++)
  		head[i]=-1;
  	//memset(head,-1,sizeof(head));
  	//memset是以字节为单位，初始化内存块
  	//字节单位的数组时，可以用memset把每个数组单元初始化成任何你想要的值
  	//因为一个int类型的变量占4个字节，而memset是将每一个字节初始化成1，
  	//所以一个int类型的变量被初始化成了0x01010101。而这个数是16843009
  	//memset初始化int只能初始化0和-1；  
  }
  
  void addEdge(int u,int v,int w){
  	Edges[tot].u=u;
  	Edges[tot].v=v;
  	Edges[tot].w=w;
  	Edges[tot].nxt=head[u];
  	head[u] = tot;
  	tot++;
  }
  

2、图的遍历

2.2、dfs(深度优先 depth first search)

• 基于上述的链式前向星实现

  void dfs(int u) {
    //v 可以是图中的一个顶点
    //也可以是抽象的概念，如 dp 状态等，这一点很难想
    vis[u] = 1; //标记该节点被访问过
    for (int i = head[u]; i; i = Edges[i].nxt) {
      if (!vis[Edges[i].v]) {
      //task to do
      dfs(v);
      }
    }
  }
  

2.3、bfs(宽度优先 breadth first search)

• 每次都尝试访问同一层的节点。 如果同一层都访问完了，再访问下一层。这样做BFS 算法找到的路径是从起点开始的最短合法路径。换言之，这条路所包含的边数最小。在 BFS 结束时，每个节点都是通过从起点到该点的最短路径访问的。
• 基于上述的链式前向星实现:

  void bfs(int u){
  	vector<int> d;//记录到达各个节点的最近距离；
  	vector<int> p;//记录最短路上的节点
  	vector<int> vis(MAXN,0);//0代表节点未被访问过
  	queue<int> q;
  	q.push(u);
  	vis[u]=1;//标记访问
  	d[u]=0;
  	p[u]=-1;
  	while(!q.empty()){
  		u=q.front();
  		q.pop();
  		for(int i=head[u]; i; i=Edges[i].nxt){
  		  int v = Edges[i].v;//到达的点
  		  if(!vis[v]){
  		      q.push(v);
  		      vis[v]=1;
  		      d[v]=d[u]+1;
  		      p[v]=u;//记录前序节点
  		      //task to do
  		  }
  		}
  	}
  }