算法描述

克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，因为它每一步都挑选当前最轻的边而并不知道全局路径的情况.
算法最关键的一个步骤是要判断要加入mst的顶点是否会形成回路，我们可以利用并查集的技术来做。

并查集的具体实现可参考：快速并查集

下面是对算法的一个简单描述：

这是一个非常简单易懂的算法，它面向边而不是顶点，所以在算法开始的时候，它要先找出所有的crossing edges,而为了高效的找到最轻边，用一个优先队列来维护这些crossing edges.

    /**
     * 找出所有crossing edges并加入优先队列
     */
    private void findAllCrossingEdges(){
        for(Vertex v:this.vertices) {
            for(Edge edge:v.Adj) {
                WeightedEdge we = (WeightedEdge)edge;
                this.crossingEdges.add(we);
            }
        }
    }

    private PriorityQueue<WeightedEdge> crossingEdges = new PriorityQueue<WeightedEdge>();

算法实现

下面是克鲁斯卡尔算法的一个实现：

    /**
     * 克鲁斯卡尔算法求MST
     *
     * 克鲁斯尔卡算法也是一种贪心算法(greedy algorithm)
     * 1.总是挑选最轻的边，如果这条边的两个端点没有形成回路，就将这条边加入MST
     * 2.在剩下的边中,重复1.
     *
     */
    public void kruskalMST() {
        resetMemo();
        //找出所有crossing edges
        findAllCrossingEdges();
        //初始化并查集
        FastUnionFind uf = new FastUnionFind(vertexCount());
        //算法用贪心策略，每一步都挑选最轻的边来加入mst
        //需要注意的是，在加入mst之前要考察边的两端顶点是否形成环路
        while (!this.crossingEdges.isEmpty()) {
            //最轻边
            WeightedEdge edge = crossingEdges.poll();
            //如果点src和点to没有形成环
            if(!uf.isConnected(edge.src,edge.to)){
                //将src和to连通
                uf.union(edge.src,edge.to);
                //将最轻边加入mst
                mst.offer(edge);
                //更新mst的权重
                mstWeight += edge.weight;
            }
        }
    }

时间复杂度

算法需要对所有边E 进行访问，这步操作耗时O(E )
将边入队和出队的操作耗时O(logE).
由于假设图是连通的,并查判断回路操作耗时O(logE)
所以整体耗时O(ElogE ).
由于 |E| < V*V,所以logE = 2logV，则可将算法复杂度写为O(ElogV).