微分学习笔记
前言:
这是一个蒟蒻yy出来的笔记,大佬们就别踩这个蒟蒻了…
前置芝士:
- 直线斜率计算公式:\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\)
引入
如图,这是\(f(x)=x^2\)的图像,现在该图上有一点\(A(1, 1)\),求过该点的切线表达式。
令另一在该函数上的点\(B(x+h,f(x+h))\),当\(B\)愈来愈趋近于\(A\),即:\(\lim_{h \to 0}\),过点\(A\)、\(B\)的直线斜率\(k=
{\Large\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}}\)
代入并进行化简得:\(\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h\),当h趋近于0,斜率\(k=2x\),即过\(A\)点的切线的斜率为\(2\),\(\therefore\)该直线的表达式为\(y=2x-1\)。
推广:对于函数\(f(x)=x^2\)图像任意一点\((x,f(x))\)过改点的切线斜率为\(2x\)。
定义:对于任意函数\(y=f(x)\),其任意一点的斜率遵循同一函数\(B\),我们称函数\(B\)为函数\(f(x)\)的导数,记作\(y^{\’}\)或\(f^{\’}(x)\)。
定理:对于任意幂函数\(f(x)=x^a\),其导数\(f^{\’}(x)=ax^{a-1}\)。
证明:仍设点\(A(x, f(x))\),\(B(x+h, f(x+h))\)。
当\(B\)无限接近\(A\),直线\(AB\)的斜率为:
\({\large k=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^a-x^a}{h}}\)
根据二项式定理
\((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^k\),可得
\({\large k=\frac{\sum_{k=0}^{a} C_a^ka^{a-k}h^k-x^a}{h}}\)
将\(\sum\)中的第一项以及最后两项拆出,即
\]
当 \(h\) 无限趋近于 \(0\) 时,左边分子的每一项都至少有 \(1\) 个h,那么整个分子的和均为 \(0\) ,最终得到 \(k=ax^{a-1}\) 。证毕
最后,我们就得到了一下结论:
对于任意的幂函数\(\mathit{{\color{Green} f(x)=x^a}}\),其导数\(\mathit{{\color{Green} f^{\’}(x)=ax^{a-1}}}\)。