泊松分布
去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击案，造成28人死亡。
资料显示，1982年至2012年，美国共发生62起（大规模）枪击案。其中，2012年发生了7起，是次数最多的一年。
去年有这么多枪击案，这是巧合，还是表明美国治安恶化了？
前几天，我看到一篇很有趣的文章，使用”泊松分布”（Poisson distribution），判断同一年发生7起枪击案是否巧合。
让我们先通过一个例子，了解什么是”泊松分布”。
例如：已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？
假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：
（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。
（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。
（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
在统计学上，只要某类事件满足上面三个条件，它就服从”泊松分布”。
泊松分布的公式如下：
各个参数的含义：
**P：每周销售k个罐头的概率。
X：水果罐头的销售变量。
k：X的取值（0，1，2，3…）。
λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本题为2。**
根据公式，计算得到每周销量的分布：
从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（平均每19周发生一次）；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货（平均59周发生一次）。
案例2：
例有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
设1000 辆车通过,出事故的次数为 X ,则X~b（1000,0.0001）,
可利用泊松定理计算,λ=1000×0.0001=0.1
P｛X≥2｝≈1-e(-0.1)／0!-0.1×e(-0.1)／1!=0.0047
注意:
- λ是指平均发生的次数，即泊松分布中影响的唯一因子。第一个案例中，直接告诉了λ值，即平均卖的罐头。第二个案例中，没有直接给出平均值，但发生的概率和参与的样本数。故平均值λ=样本数*发生概率
- 第一个案例中求的是最佳库存量，为泊松分布概率的累计概率，即缺货概率。第二个案例中出的的发生次数小小于2的概率，即X大于或等于2的取值时的概率，因为总概率是1，将1-P（x=0)-P(x=1),即为题目所求的目标概率。
以下是泊松分布的代码