• UUT=UTU=IUUT=UTU=I，且UU是实数向量，则U是正交矩阵。可知UU的行（列）向量都是单位范数并且正交的。det(U)=1or−1det(U)=1or−1

  • 行列式为+1的n维正交矩阵可以看作是n维旋转

  • 正交矩阵的保范性质：(Ux)T(Ux)=xTx(Ux)T(Ux)=xTx

  • 基变换矩阵：
    (β1,⋯,βn)=(α1,⋯,αn)⎡⎣⎢⎢a11⋮am1a12⋮am2......a1n⋮amn⎤⎦⎥⎥=(α1,⋯,αn)A(β1,⋯,βn)=(α1,⋯,αn)[a11a12…a1n⋮⋮⋮am1am2…amn]=(α1,⋯,αn)A

    XX是在基αα下的坐标，Y是在基ββ下的坐标，则Y=A−1XY=A−1X

    证明：αX=βY=αAYαX=βY=αAY，所以Y=A−1XY=A−1X

可以看出，坐标轴整体旋转⇒⇒基变换矩阵是正交矩阵(+1)⇒⇒坐标左乘正交矩阵(+1)。

  • Givens旋转和RQ分解
    RQ分解是A=RQ，R是上三角矩阵，Q是正交矩阵。
    Givens旋转：

    Qx=⎡⎣⎢1cs−s−c⎤⎦⎥，Qy=⎡⎣⎢c−s1sc⎤⎦⎥，Qz=⎡⎣⎢cs−sc1⎤⎦⎥Qx=[1c−ss−c]，Qy=[cs1−sc]，Qz=[c−ssc1]

    其中，c=cos(θ)，s=sin(θ)c=cos(θ)，s=sin(θ)。旋转方向都是逆时针，分别是y->z，z->x，x->y。之所以,QyQy有所不同是因为（x，y，z）的坐标现后顺序。
    分解步骤：（1）AQxAQx使A32=0A32=0；（2）AQxQyAQxQy使A31=0A31=0；（3）AQxQyQzAQxQyQz使A21=0A21=0。得到的前两列是原来前两列的线性组合，所以A32,A31A32,A31仍为0

  • 分解中，QQ是正交矩阵，UU是酉矩阵，RR是上三角矩阵，LL是下三角矩阵

  • Householder矩阵和QR分解


采用Householder矩阵作矩阵乘法时，应利用矩阵的特殊形式来加速计算

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