[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质
DFT定义
离散傅里叶变换的公式如下
\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}
\]
\]
其中\(W_n\)是单位根,定义如下
\[W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}
\]
\]
逆变换如下
\[x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk}
\]
\]
性质
线性
如果有\(x_1(n)\)和\(x_2(n)\)两个有限长序列,长度分别为\(N_1\)和\(N_2\),且
\[y(n)=ax_1(n)+bx_2(n),(a,b为常数)
\]
\]
取变换区间长度\(N=[N_1,N_2]max\)
\[X_1(k)=DFT[x_1(n)]_N;X_2(k)=DFT[x_2(n)]_N
\]
\]
则\(y(n)\)的\(N\)点DFT为
\[Y(k)=DFT[y(n)]_N=aX_1(k)+bX_2(k)
\]
\]
循环移位性质
设\(x(n)\)为有限长序列,长度为\(M\),则\(x(n)\)的循环移位定义为
\[y(n)=x((n+m))_NR_N(n)
\]
\]
如果一个序列移位之后,一些样值被移到了起始点前面,那他实际上会在后面再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果\(X(k)=DFT[x(n)]_N\)
\(Y(k)=X((k+l))_NR_N(k)\)
则\(y(n)=IDFT[Y(k)]_N=W_N^{nl}x(n)\)
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为\(M_1\)和\(M_2\),且取循环卷积区间长度\(L\geq max[M_1,M_2]\)
\(X_1(k)\)是\(x_1(n)\)的\(L\)点DFT
\(X_2(k)\)是\(x_2(n)\)的\(L\)点DFT
如果\(y(n)=x_1(n)*x_2(n)=[\sum_{m=0}^{L-1}x_1(m)x_2((n-m))_L]R_L(n)\),
那么他的的DFT为\(Y(k)=X_1(k)X_2(k)\)
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