高数：第五章（同济大学第七版）
由于图片太难看了，所以说更新了一下换成了文字。
定积分
一·定积分的性质
㈠ 基本性质：
(1)当b=a时， ∫aaf(x) dx\int_{a}^{a} f(x) \,dx=0
(2)当a>b时， ∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \,dx=- ∫baf(x) dx\int_{b}^{a} f(x) \,dx
㈡推论：
推论一：如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),那么 ∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \,dx ≤ ∫abg(x) dx\int_{a}^{b} g(x) \,dx (a<b)
推论二：∣∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \,dx ∣ ≤∫ab∣f(x)∣ dx\int_{a}^{b} |f(x)| \,dx
㈢定积分中值定理：在区间[a,b]上至少存在一点ε使得以区间[a，b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积。
f(ξ\xi)= 1b−a\frac{1}{b-a}∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \,dx
f(ε)称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。
二·微积分基本公式
㈠积分上限函数求导：
通俗来讲，就是将积分上限（不是上限的话加个负号，变为上限）中的未知数直接替代被积函数中的未知数。注意d*中的未知数也要替换。
课后习题第五
㈡牛顿莱布尼茨公式：
直接求反导，然后上下限分别代入，上限带入的结果减去下限带入的结果。
也可以与求极限相结合，利用洛必达计算。。。p243例八
三·换元法与分部积分法
㈠换元法：与不定积分大体不差，只举不同处。
①若f(x)在[-a,a]上为偶函数，则可以求在[0,a]上的定积分，再乘2.
若为奇函数则直接等于0.｛偶倍奇零｝
②有许多有用的结论：
设f(x)在[0,1]上连续，可得：
（1）∫0π/2f(\int_{0}^{\pi/2} f(sinx) dx) \,dx=∫0π/2f(\int_{0}^{\pi/2} f(cosx) dx) \,dx
(2)∫0πxf(\int_{0}^{\pi} xf(sinx) dx) \,dx=π\pi/2∫0πf(\int_{0}^{\pi} f(sinx) dx) \,dx=π\pi∫0π/2f(\int_{0}^{\pi/2} f(sinx)dx) dx
设f(x)是连续的周期函数，周期为T，则
（1）∫aa+Tf(x)dx\int_{a}^{a+T} f(x) dx=∫0Tf(x) dx\int_{0}^{T} f(x) \,dx
(2)∫aa+nTf(x)dx\int_{a}^{a+nT} f(x) dx=n∫0Tf(x) dx\int_{0}^{T} f(x) \,dx (n∈\inN)
㈡分部积分法：
计算sin或cos的n次方（有区间限制[0,π/2]
I2mI_2m=2m−12m\frac{2m-1}{2m} ⋅\cdot2m−32m−2\frac{2m-3}{2m-2} ⋅\cdot…56\frac{5}{6} ⋅\cdot34\frac{3}{4} ⋅\cdot12\frac{1}{2} I0I_0
I2m+1I_2m+1=2m2m+1\frac{2m}{2m+1} ⋅\cdot2m−22m−1\frac{2m-2}{2m-1} ⋅\cdot…67\frac{6}{7} ⋅\cdot45\frac{4}{5} ⋅\cdot23\frac{2}{3} I1I_1(m=1,2,3…)
其中：
I0I_0=∫0π/2dx\int_{0}^{\pi/2} dx= π2\frac{\pi}{2}
I1I_1=∫0π/2sinxdx\int_{0}^{\pi/2}sinx dx=1
四·反常积分
只需注意一点：瑕点，有瑕点时需要暴露出来，把区间分两段。
一般来说：当上下限都存在时，才会有瑕点。
（有极限时为收敛，无极限时为发散）