阻尼比\(\zeta\) 不能为负!

• 固有频率…

第一阶段

• 什么是频率特性?
• 如何绘制极坐标图? 幅相图. 奈奎斯特图.
• 如何绘制对数坐标图? 对数幅相图.
• 什么是奈奎斯特稳定判据? 如何应用?
• 什么是幅值裕度? 什么是相位裕度?
• 熟悉掌握吃透典型环节
• 频率特性曲线的图示描述与系统的传递函数及其他性质之间的关系

第二段阶

• 用频率特性的极坐标图, Nyquist稳定判据, Bode图来分析闭环控制系统并理解其设计方法.
• 用频率特性方法设计补偿器

计算机辅助设计

• …

系统的频率响应, 反映了什么?

• 其反映了系统稳态响应随输入信号的频率发生变化的情况.
• 诶, 你说好好的你输入信号频率为什么要变来变去? 有什么意义吗?
• 嗯… 像脉冲响应吧, 反映了系统的本身内在特性.
  • 频率响应相当于不同频率的下系统的特性吧.
  • 加上现实中几乎所有信号都能分解为复指数信号, 正弦余弦信号的组合. (周期信号的傅里叶级数, 非周期信号的傅里叶变换)
  • 应该说频域法帮助我们换一个角度来观察看问题.
  • 找共性, 在另一个空间, 映射.
• 其实还有一个原因, 这得谈到历史.

因为早期控制系统时间域研究法的局限性(计算机还没出来).

• “在20世纪40年代, 人们采用在实验室对控制系统(主要是随动系统)求取频率特性的方法对它进行分析研究.”
• 其实有意思的是. 在刘豹老师现代控制理论一书中, 绪论中说了1970s以来, 随着基于状态空间的计算机时域分析推广应用几年以来, 频域法又慢慢抬头.
• 就好像矛盾的螺旋一样.

频率传递函数(频率特性, 正弦传递函数)

• \(G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}\)
• 注意到频率特性反映了动态特性.
• 尽管其是在正弦输入时, 系统稳态情况下, 输入与输出的关系.
• 尽管是稳态, 但其与反映系统动态特性的 \(G(s)\) 形式上完全一致.

嗯… 这其实很有意思. 应该是从实验或者物理的来说. (万百五老先生)

• 从实验得出. “在任意的线性元(部)件或线性控制系统的开环实体, 频率特性的实验求取结论是这样的:”
  • “当正弦信号输入时, 其稳态输出是同频率的正弦信号, 不过振幅和相位发生了变化. 且对不同的频率值, 输出的振幅和相位发生的变化也不同”
  • “将每个\(\omega\) 值的输出振幅/输入振幅比和相位画在极坐标图上就得到许多从原点出发的向量.”
  • “而这些向量的端点形成的轨迹称为相应元部件或线性开环系统的(振)幅-相(位)特性, 此时\(\omega\) 成为轨迹上点的参变量”
  • 其实关键是理解向量既可以作为一维的点和二维的..额 长度? 不能说线段和直线还是射线来着- –
• 而今再从已知系统微分方程式得到的传递函数出发.
  • 实验中是从较低的频率变化到较高的频率
  • 于是我们令\(s=j\omega\) 代入传递函数. 将得到的复变量以 \(\omega=0\) 到 \(\omega=\infty\) 画出.
  • 令人感兴趣的是, 得到的结果和实验得到的结果(轨迹)相同. (开环闭环?)
  • 而且由于有数学表达式, 甚至可以补全目前实际中找不到对应的负频率. 即\(\omega=0\) 到 \(\omega=-\infty\) 那一半轨迹. 正好对称.
• “这说明了一个极重要的概念: \’
  • “对于原本是复变量的s以\(j\omega\) 代入元(部)件或系统的传递函数, 取\(\omega=0\) 到 \(\omega=\infty\) 的值在复平面上绘制出曲线. 这个曲线就是该元(部)件或系统本当应由实验测出的幅相(响应)特性. “
  • “换言之, 从实验测得的元(部)件或系统的幅相特性就是它相应传递函数的频率域表征.”
  • “所以, 看来是纯数学概念的传递函数却隐含着丰富的物理概念内涵, 并且根据实验测得的幅相特性来推断出相应的传递函数“

我之前好像以为根轨迹和极坐标图很像… 很有共同点…

为何极坐标图看着均和实轴有交点? 都有穿越频率吗?

• 什么时候没有幅相曲线与实轴没有交点?
• \(Im[G(j\omega)H(j\omega)]=0\)
  • 若 \(\omega\) 为复数, 则不穿越实轴
  • …
• 好解析…

第一次听到: 开环幅相曲线的低频段渐近线, 这是啥?

最小相位的最小, 该怎么理解?

一个众所周知.

• 一个非正弦周期函数可以分解为傅里叶级数; 即分解成一系列频率不同的级数.
• 函数一个非周期函数, 可以通过傅里叶积分, 分解成一系列频率连续的谐波.

为什么用开环传递函数? 开环这个词是怎么来的?

• 因为当时(1940s)实验室做实验时, 是使用正弦信号发生器作为输入正弦信号源, 将正弦信号从被断开的\(G_0(s)\) 为开环传递函数.
• 被断开, 即打开. 其中一个译名开环传递函数大概由之而来.
• 至于为什么要从断开(打开)的地方输入正弦信号?
  • … 为了分析方便?
  • 话说对一个未知系统进行黑箱测试, 怎么找到反馈的点的…
• 正弦信号源的频率值要求从很低开始, 一直做到高频即系统输出的正弦响应幅值很小为止.
  • Ohhhhhh!
  • 意识到, 输入频率越高. 系统输出响应幅值越小!!!
  • 现实意义的话, 就像频率越高, 波长越短, 衰减越快!
  • 而数学意义的话, 看表达式啊! 输入信号的频率在分母!
• 注意实际中没有负的频率, 只是为了数学分析的完备性

热电偶是线性元件…

症结… 极坐标图和根轨迹…

• 都是尝试在一张二维平面上引入3个变量啊!
• 所以会不习惯…

零极点所在的是S平面, 幅相特性是 \((G_o(j\omega))\) 平面(o, open)

• 建议标注:
  • S平面(横坐标\(\sigma\), 纵坐标\(j\omega\))
  • \(G_o(j\omega)\) 平面

幅相特性的转折频率和传递函数的零极点有什么关系吗?

• 举个栗子, 惯性元件.

  \[\displaystyle G_c(j\omega)={k_c\over jT_c\omega + 1}$$ , (c, **)

  \]

• “系统的开环幅相特性, 其曲线特性上的转折频率(或称为传递函数的零, 极点), 其概念在对数(振)幅频(率)特性曲线上可以理解地最清楚.”

OK. 理解了基本背后的一些东西后. 我们可以来构建或者拆分系统了.

不过在用你的小刀细细分割之前, 先来看一下先辈们的小刀(80米砍刀吧…)是什么样的.

• 注意到同阶的微分方程描述的同一类的元(部)件, 其具有类似的幅相特性. 比如以一阶微分方程描述的其他惯性元件, 其与上述栗子具有类似的幅相特性, 仅仅是系数 \(k_c, T_c\) 不同.
• “所以从频率特性或动态性能的观点来研究, 自动控制系统的元件不仅能依据物理性质或功能, 作用来分类, 而更适合是以微分方程性质或动态性能来分类”
• TA们被分成6种最基本的典型动态环节.
  • 比例环节
  • 积分环节
  • 微分环节
  • 惯性环节
  • 振荡环节(二阶惯性环节)
  • 滞后环节

系统开环幅相特性曲线不是封闭的原因是谁造成的?

• 这种不封闭是由于零值极点造成的.
• 为利用奈奎斯特判据, 必须增加补充曲线使开环幅相特性曲线闭合.
• 其画法是, 以平面上原点为圆心, 以 \(\infty\) 为半径, 从奈奎斯特曲线上的\(\omega=0\) 开始, 逆时针方向画圆弧, 转过$(v\times 90^\circ) $ 为止.
• 其中v为积分环节的阶. (零值极点个数)

注意到考察电容. 输入为电压, 输出为电流, 其为一个微分环节!

变量s沿 着虚轴取值.