课程信息 教学计划 注记随记 作业

课程信息

曲阜师范大学数学科学学院, 2019级信息与计算科学专业.

上课时间: 1-18周, 周二3-4节，周四1-2节，周五3-4节. 6课时/周, 共计108课时.
上课地点: 数学楼106教室.
晚自习答疑: 待定.

教材:

数学分析(上册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945. 第4版上册教材下载

数学分析(下册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

习题解答:

数学分析习题课讲义(2), 李傅山、王培合 编著, 北京大学出版社, 2018, ISBN: 9787301291856.

参考资料:

【1】吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第2册), 谢惠民、沐定夷 编著, 高等教育出版社, 2011， ISBN: 9787040323566. 下载

【2】数学分析习题课讲义(上册，第2版), 谢惠民、恽自求等 编, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040498516.

【3】数学分析习题课讲义(下册，第2版), 谢惠民、恽自求等 编, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040511529.

【4】数学分析中的典型问题与方法(第2版), 裴礼文 编, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040184549.

【5】数学分析原理与方法, 胡适耕 、张显文 编著, 科学出版社, 2008, ISBN: 9787030217974.

【6】微积分学教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥尔茨 著, 徐献瑜、冷生明、梁文骐 译, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【7】数学分析原理(第3版), [美] Walter Rudin 著, 赵慈庚、蒋铎 译, 机械工业出版社, 2004, ISBN: 9787111134176.

教学计划

教学日历 下载

第七章 实数系的完备性
第八章 不定积分
第九章 定积分
第十章 定积分的应用
第十一章 反常积分
第十二章 数项级数
第十三章 函数列与函数项级数

第七章 实数系的完备性

实数系完备性的定理体系:

  1. 确界原理;
  2. 单调有界定理;
  3. 致密性定理;
  4. Cauchy收敛准则;
  5. 闭区间套定理;
  6. 聚点定理;
  7. 有限覆盖定理.

我们在第1章和第2章已经学过前4个定理. 本章学习后面3个定理.

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接, 授课讲义pdf.

  • P1 闭区间套定理-1
    区间套的概念. 闭区间套定理、推论及相关讨论(开区间套一般没有公共点).

  • P2 闭区间套定理-2
    利用闭区间套定理可以证明连续函数的零点存在定理, 证明过程称为“二分法”, 它提供了求解方程\(f(x)=0\)的近似根的一种迭代算法.

  • P3 聚点定理-1
    聚点的定义和其它等价定义. 聚点定义的等价性证明.

  • P4 聚点定理-2
    聚点定理的证明. 方法1：利用闭区间套定理; 方法2：利用致密性定理.

  • P5 有限覆盖定理-1
    覆盖的定义. 有限覆盖定理及其证明. 证明方法: 利用闭区间套定理.

  • P6 有限覆盖定理-2
    有限覆盖定理的应用：1. 证明闭区间上连续函数的有界性定理；2. 证明一致连续性定理(闭区间上的连续函数一定一致连续).

  • P7 习题课-1
    7.1节习题1-7题; 总练习题第1题.

  • P8 习题课-2
    7.1节习题第10题, 通过引入加强形式的覆盖定理, 证明连续函数的零点存在定理.

第八章 不定积分

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

8.1 不定积分概念与基本积分公式

(授课讲义pdf)

8.2 换元积分法与分部积分法

(授课讲义pdf)

8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分

(授课讲义pdf)

  • P13 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-1
    求有理函数的不定积分的步骤: Step1. 利用多项式除法将假分式化为多项式和真分式的和; Step2. 对真分式的分母做标准分解; Step3. 按照分母的标准分解形式, 将作为被积函数的真分式分解为4类部分分式的和; 4. 求部分分式的不定积分, 最终得到被积函数的不定积分.
    4类部分分式:

    • \[(I)\quad \frac{A}{x-a};
      \]

    • \[(II)\quad \frac{A}{(x-a)^k}\quad (k\geq 2);
      \]

    • \[(III) \quad \frac{Bx+C}{x^2+px+q}\quad (\Delta =p^2-4q<0);
      \]

    • \[(IV) \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\quad (k\geq 2,\ \Delta =p^2-4q<0);
      \]

    难点: 1. 分母的标准分解(需要经验与技巧); 2. 真分式分解为部分分式的和(计算量大); 3. 求第(IV)类部分分式的不定积分(计算量大).

  • P14 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-2
    教材中有理函数不定积分的例子. 建议记住以下两个不定积分:

    • \[\int \frac{t}{t^2+1}{\rm d} t=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t^2}{\rm d}(t^2)=\frac{1}{2}\ln (t^2+1)+C;
      \]

    • \[\int \frac{1}{(t^2+1)^2}{\rm d} t=\frac{1}{2}\left(\arctan t+\frac{t}{t^2+1} \right)+C.
      \]

  • P15 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-3
    三角函数有理式的不定积分, 有两种常用的变量替换方法: 1. 万能代换\(t=\tan \frac{x}{2}\); 2. 有理式中的三角函数是以\(\sin^2 x\), \(\cos^2 x\), \(\tan x\)等形式出现的, 可尝试利用\(t=\tan x\).

  • P16 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-4
    含根式的有理式的不定积分

    \[\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),
    \]

    利用变换\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)将上述不定积分转化为关于变量\(t\)的有理函数的不定积分\(\int R(t){\rm d}t\).

  • P17 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-5
    含根式的有理式的不定积分

    \[\int R\left(x, \sqrt{ax^2 +bx +c}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),
    \]

    其中(i) \(a>0\)并且\(\Delta=b^2-4ac\neq 0\); 或者(ii) \(a<0\)并且\(\Delta=b^2-4ac>0\), 上述两种条件保证二次根式能够成立. 处理方法：

    • 直角三角形技巧；
    • Euler变换.

第8章习题课

(授课讲义pdf)

第九章 定积分

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

9.1 定积分概念

(授课讲义pdf)

  • P1 9.1-定积分概念-1
    区间的分割, Remann和及其几何意义, Riemann可积与Riemann积分.
    问题1: 给定区间\([a,b]\)上的函数\(f\), 如何判断\(f\)在\([a,b]\)上可积? 连续一定可积.
    问题2: 已知\(f\)在\([a,b]\)上可积, 如何计算\(\int_a^b f(x){\rm d}x\)?

  • P2 9.1-定积分概念-2
    Riemann积分与Riemann和的极限之间的转化. 定积分的几何意义: 分割，近似, 取极限. 用定积分来定义(不规则)平面图形的面积.

  • P2 9.1-定积分概念-3
    计算平面图形面积的具体例子.

9.2 Newton-Leibniz公式

(授课讲义pdf)

9.3 可积条件

(授课讲义pdf)

  • P6 9.3-可积条件-1
    可积的必要条件：可积必有界, 无界必不可积; 有界不一定可积, 反例-Dirichlet函数.
    可积的充分必要条件: Darbo和方法.

  • P7 9.3-可积条件-2
    可积函数类：(1) 在\([a,b]\)上连续的函数; (2) 在\([a,b]\)上只有有限多个间断点的有界函数; (3) 在\([a,b]\)上单调的有界函数.

  • P8 9.3-可积条件-3
    在\([a,b]\)上有无限多个间断点的有界函数, 可能可积, 也可能不可积. 可积的例子.

  • P9 9.3-可积条件-4
    专题: Riemann函数的连续性和可积性. Riemann函数\(R(x)\)在\((0,1)\)中的有理点都不连续, 无理点都连续. \(R(x)\)在\([0,1]\)上可积并且

    \[\int_0^1 R(x){\rm d}x=0.
    \]

第九章习题课1

(授课讲义pdf)

9.4 定积分的性质

(授课讲义pdf)

  • P12 9.4-定积分的性质-1
    线性性质, 乘积性质.
  • P13 9.4-定积分的性质-2
    区域(区间)可加性.
  • P14 9.4-定积分的性质-3
    保不等式性, 绝对值性质.
  • P15 9.4-定积分的性质-4
    基本性质的应用例子. 重要的例子: 非负连续函数的定积分.
  • P16 9.4-定积分的性质-5
    积分第一中值定理, 推广形式的积分第一中值定理, 推论.
  • P17 9.4-定积分的性质-6
    中值点\(\xi\)实际上可以在开区间\((a,b)\)内取得. 对含参数\(n\in \Bbb{N}_+\)的定积分求极限的例子.
  • P18 9.4-定积分的性质-7
    问题: 求极限与求定积分是否可以交换顺序? 设\(f_n,f\)均在\([a,b]\)上可积, 并且对任意\(x\in [a,b]\), 有\(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\), 是否有

    \[\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x=\int_a^b f(x){\rm d}x=\int_a^b \lim_{n\to \infty}f_n(x){\rm d}x?
    \]

    不一定.

第九章习题课2

(授课讲义pdf)

9.5 微积分学基本定理·定积分计算(续)

(授课讲义pdf)

第九章习题课3

(授课讲义pdf)

  • P30 第九章习题课3-1
    9.5节习题15，16题.
  • P31 第九章习题课3-2
    第九章总练习题2，5题.
  • P32 第九章习题课3-3
    第九章总练习题7,8,9,10题. 6和7题中引入了\(p=2\)时的积分形式的Holder不等式和Minkowski不等式. 第9题实际上给出了正项级数和非负函数无穷积分的关系, 可以借此引出正项级数的积分判别法.
  • P33 第九章习题课3-4
    Ivan Niven关于\(\pi\)是无理数的证明 pdf.

第十章 定积分的应用

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

10.1 平面图形的面积

(授课讲义pdf)

  • P1 10.1-平面图形的面积-1
    学习本章内容应该注意的一些事项.
    平面直角坐标系下, 方程为一般式\(y=f(x)\)的曲线与相关坐标轴或曲线所围成的平面图形的面积.
  • P2 10.1-平面图形的面积-2
    平面直角坐标系下, 方程为参数方程\(x=x(t),\ y=y(t)\)的曲线与相关坐标轴或曲线所围成的平面图形的面积.
  • P3 10.1-平面图形的面积-3
    极坐标系下, 方程为极坐标方程\(r=r(\theta)\)的曲线与相关射线或曲线所围成的平面图形的面积.

10.2 由平行截面面积求体积

(授课讲义pdf)

10.3 平面曲线的弧长与曲率

(授课讲义pdf)

第十章习题课1

(授课讲义pdf)

第十章习题课2

(授课讲义pdf)

10.4 旋转曲面的面积

(授课讲义pdf)

第十章习题课3

(授课讲义pdf)

第十一章 反常积分

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

第十二章 数项级数

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

第十三章 函数列与函数项级数

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

13.1 一致收敛性

  • P1 13.1-一致收敛性-1
    函数列与函数列的逐点收敛(pointwise convergence). 设函数列\(\{f_n\}\)在数集\(D\)上逐点收敛于极限函数\(f\), 即使每个函数都在\(D\)上有界(连续、可导或可积), 极限函数\(f\)在\(D\)上也不一定有界(连续、可导或可积).
  • P2 13.1-一致收敛性-2
    一致收敛与内闭一致收敛的定义. 三种收敛之间关系的讨论.
  • P3 13.1-一致收敛性-3
    判断函数列一致收敛的方法: 1. 已知极限函数时, 可利用等价条件

    \[\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left| f_n(x)-f(x)\right|=0
    \]

    来判断; 2. 极限函数未知时, 可利用函数列一致收敛的Cauchy收敛准则.

  • P4 13.1-一致收敛性-4
    13.1节习题2，7题.
  • P5 13.1-一致收敛性-5
    函数项级数及其(逐点、一致或内闭一致)收敛等概念. 已知和函数时判断函数项级数一致收敛的等价条件. 13.1节习题第4题
  • P6 13.1-一致收敛性-6
    和函数未知时, 判断函数项级数一致收敛的方法: Cauchy收敛准则, Weierstrauss判别法(M判别法或优级数判别法). 13.1节习题5，6题

第十四章 幂级数

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

第十五章 Fourier级数

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

15.1 Fourier级数

(授课讲义pdf)

  • P1 15.1-Fourier级数-1
    定义三角函数系、三角级数. 引入一种特殊的内积空间——Riemann可积函数空间

    \[R[-\pi,\pi],\quad \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x){\rm d}x.
    \]

    证明三角函数系

    \[e_0(x)\equiv 0,\quad e_{2n-1}(x)=\cos nx,\quad e_{2n}(x)=\sin nx,\quad n=1,2,\cdots
    \]

    是可积函数空间\(R[-\pi,\pi]\)中的规范正交系, 即

    \[\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}=
    \begin{cases}
    1,&i=j,\\
    0,&i\neq j.
    \end{cases} \]

注记随记

作业

版权声明：本文为sunfenglong原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://www.cnblogs.com/sunfenglong/p/12301069.html