补码

从补数标记方式讨论补码起源

平时我们表示数字时，用正负号来指明到底是正号还是负号，如-500到500我们写成：

-500,-499,-498...-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4... 498, 499

这种表示方法是以0为原点展开的。如果从一开始就知道要表示的数字范围，因为这些数字的绝对值不会大于500，我们可以采取一种映射的方式，用000-999来表示这些数字：

500,501,502...996,997,998,999,000,001,002,003,004...497,498,499

这些数字与上述1000个数一一对应。这种标记方法就是10的补数。正数范围内的映射关系是不变的，负数需要换算：

如果要计算-255对10的补数，首先用999减255得到744，然后再加1，得到745。

有了补数，我们将无需使用减法，如果要计算143-78，应该首先得到78对10的补数，为922，然后用922+143，去掉溢出后得到65.也就是A-B相当于A+B的补数。

相对我们提到的在10进制中的补数标记方式，在二进制中这种机制被称为2的补数，以8位二进制数为例，从00000000-11111111，对应十进制中的0-255，以1开头的数字都表示负数。此时要计算负数的补数也很简单，例如要计算-125的补数，正数对应二进制为01111101，首先用11111111减该数得到10000010，相当于逐位取反，然后再加1，得到10000011。

而在这种表示方法中，-125对应正数125被表示为01111101，-125的源码就是这个数字的符号位改变成1，也就是11111101，-125的补码是10000011，这个从原码到补码的规律就被总结为：符号位不变，其他各位取反，最后加1.

从0重码问题的解决讨论补码起源

以8位的数据为例，我们怎么才能用8位数据表示有符号数呢？

既然表示有符号，必须能够区分正负，我们不妨用最高位来表示符号，最高位为1表示负数，最高位为0表示正数：

00000000b代表0
10000001b代表-1
11111111b代表-127

但是这种表示方法有一个问题，那就是00000000b和10000000b都代表0，这就是0出现重码问题。

为了解决这个问题，我们先考虑用反码来表示有符号数，也就是00000000-01111111b表示0-127，然后再用它们按位取反后的数据表示负数：

11111110b表示-1
10000000b表示-127

这种用反码表示的方式并没有解决0重码问题，此时11111111b和00000000b都代表0，可见此时11111111b在这种表示方法中是一个不需要的数字，所以我们可以用正数按位取反再加1的方式来表示负数：

11111111b表示-1
10000001b表示-127

这样就赋予了11111111b新的意义，也解决了0重码的问题。

一个比较特别的数字是10000000b，它按位取反再加1是它本身，它代表-128。所以负数能表示的范围比正数多1，这种方式可以表示从-128-127的数字。

补码的意义

补码不仅仅是一种有符号数的表示法，最重要的是它很大程度上简化了计算：A-B相当于A+B的补数。

比如我们计算10-20：

10的补码（就是原码）：			00001010b
-20的补码：				11101100b
直接按位相加得	   		        11110110b 就是-10的补码

有了补码后就能大幅度简化减法运算了。

在很多高级语言底层都是用这种方式来进行数据的存储的。