RSA算法原理及实现
参考资料：
阮哥的日志：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
github的参考代码：https://github.com/buptchi/RSA/blob/master/rsa.py
薄薄的密码学课本：《现代密码学》第二版陈鲁生 等编著
写在前面：在DES之后，又迎来了蛋疼的年轻的巫婆布置的新一轮作业—RSA。拖了好久才开始写，写的过程也是艰难无比，对一个看到数学方法就头疼的人来说- -应该木有比RSA更折腾人的事儿了。课本上讲RSA的时候，首先唠唠叨叨了一大堆数论的知识，还不告诉你这个知识点有什么用，各种看不下去。我觉得对于计算机系，而不是数学系的学生来讲，理解算法，不应该是那么复杂的事儿。于是有了这篇，希望能比上一篇DES理得清楚一点儿。
一、 RSA是什么？
RSA是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。
那公钥加密算法又是什么？
公钥加密，非对称加密。简单的说，就是明文通过公钥加密，但只能通过密钥来解密。假设机器A需要向机器B传送一段极隐私的数据，要求只有机器B能解密，就需要机器B生成一对密钥，其中公钥向包括机器A在内的所有人公布，那机器A就可以用公钥加密传送的数据，机器B接收到之后用私钥解密，其他人没有私钥，即使捕获到机器A发送的消息，也无法解密。
二、 RSA实现基本思路
RSA公钥密码体制描述如下：（m为明文，c为密文）
1. 选取两个大素数p,q。p和q保密
2. 计算n=pq，r=(p-1)(q-1)。n公开，r保密
3. 随机选取正整数1<e<r，满足gcd(e,r)=1.e是公开的加密密钥
4. 计算d，满足de=1(mod r).d是保密的解密密钥
5. 加密变换： c=m^e mod n
6. 解密变换： m=c^d mod n
三、 RSA为什么能用公钥加密，私钥解密？
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
四、 算法实现的关键点一 Miller-Rabin素性测试算法
待补充
五、 算法实现的关键点二 a^b%n的计算
这个是很简单的一个算法。
def fast_mul(a,b,n):
c=1
while b!=0:
if b%2==0:
b=b/2
a=(a*a)%n
elif b%2!=0:
b=b-1
c=(c*a)%n
return c
文字描述如下：
1. c=1
2. 如果b=0,输出c，结束
3. 如果b mod 2 ≠0，转到第五步
4. b=b/2,a=(a*a)mod n，转到第三步
5. b=b-1，c=(c*a)mod n，转到第二步
六、 算法实现的关键点三 乘法逆元这个货
先说什么是乘法逆元：对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。
算法实现（扩展的欧几里得算法）：
def ExtendedEuclid(n,u):
x1=y2=1
x2=y1=0
if n>u:
x3,y3=[n,u]
else:
x3,y3=[u,n]
while 1:
if y3==0:
return x3+u
elif y3==1:
return y2+u
q=x3/y3
t1,t2,t3=[x1-q*y1,x2-q*y2,x3-q*y3]
x1,x2,x3=[y1,y2,y3]
y1,y2,y3=[t1,t2,t3]
七、 萌萌哒源码（python实现）
1 # -*- coding:utf-8 -*- 2 3 import math 4 import random 5 6 #this function is for a^b%n 7 def fast_mul(a,b,n): 8 c=1 9 while b!=0: 10 if b%2==0: 11 b=b/2 12 a=(a*a)%n 13 elif b%2!=0: 14 b=b-1 15 c=(c*a)%n 16 17 return c 18 19 def ExtendedEuclid(n,u): 20 x1=y2=1 21 x2=y1=0 22 if n>u: 23 x3,y3=[n,u] 24 else: 25 x3,y3=[u,n] 26 27 while 1: 28 if y3==0: 29 return x3 30 elif y3==1: 31 return y2 32 33 q=x3/y3 34 t1,t2,t3=[x1-q*y1,x2-q*y2,x3-q*y3] 35 x1,x2,x3=[y1,y2,y3] 36 y1,y2,y3=[t1,t2,t3] 37 38 def MillerRabin(n): 39 m=n-1 40 k=a=b=0 41 while m/2*2 == m: 42 k+=1 43 m=m/2 44 a=random.random()%n 45 while a<1: 46 a+=1 47 b=fast_mul(a,m,n) 48 if 1==b: 49 return 1 50 for x in range(k): 51 if(b==n-1): 52 return 1 53 else: 54 b=b*b%n 55 return 0 56 57 def get_prime(max_num): 58 prime_num=[] 59 for i in xrange(2,max_num): 60 temp=0 61 sqrt_max_num=int(math.sqrt(i))+1 62 for j in xrange(2,sqrt_max_num): 63 if 0==i%j: 64 temp=j 65 break 66 if temp==0: 67 prime_num.append(i) 68 69 return prime_num 70 71 def get_key(): 72 prime=get_prime(500) 73 print prime[-80:-1] 74 while 1: 75 prime_str=raw_input("please choose two prime number from above x1,x2: ").split(",") 76 p,q=[int(x) for x in prime_str] 77 if (p in prime) and (q in prime): 78 break 79 else: 80 print "the number you enter is not prime number." 81 82 N=p*q 83 r=(p-1)*(q-1) 84 r_prime=get_prime(r) 85 r_len=len(r_prime) 86 e=r_prime[int(random.uniform(0,r_len))] 87 d=(ExtendedEuclid(e,r)+r)%r; 88 89 return ((N,e),(N,d)) 90 91 def encode(pub_key,origal): 92 N,e=pub_key 93 return fast_mul(origal,e,N) 94 95 def decode(pri_key,encry): 96 N,d=pri_key 97 return fast_mul(encry,d,N) 98 99 if __name__==\'__main__\': 100 pub_key,pri_key=get_key() 101 print "public key: ",pub_key 102 print "private key: ",pri_key 103 104 origal_text=raw_input("please input the origal text: ") 105 encode_text=[encode(pub_key,ord(x)) for x in origal_text] 106 decode_text=[chr(decode(pri_key,x)) for x in encode_text] 107 108 encode_show=",".join([str(x) for x in encode_text]) 109 decode_show="".join(decode_text) 110 print "encode text: ",encode_show 111 print "decode text: ",decode_show
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