一个数学分析定理在点集拓扑中的推广
张祖锦，张程荣，陈媛，胡燕玲.一个数学分析定理在点集拓扑中的推广*[J].赣南师范大学学报.2018,(3).
一个数学分析定理在点集拓扑中的推广
张祖锦, 张程荣, 陈媛, 胡燕玲
(赣南师范大学数学与计算机科学学院, 江西 赣州 341000)
基金项目: 国家自然科学基金 (11501125, 11761009); 江西省自然科学基金 (20171BAB201004)
作者简介: 张祖锦 (1987-), 男, 江西兴国人, 赣南师范大学数学与计算机科学学院副教授, 博士, 研究方向: 偏微分方程与几何; 张程荣, 陈媛, 胡燕玲, 赣南师范大学数学与计算机科学学院 2015 级数学与应用数学专业本科生.
摘要: 实数空间到实数空间的两个连续映射, 如果在有理数集上相等, 则恒等. 上述定理可推广到适当的拓扑空间之间的连续映射.
关键词: 连续映射, 稠密子集, 拓扑空间
1. 引言
熟知有理数集 $\bbQ$ 在实数集 $\bbR$ 中稠密. 利用这一性质和连续函数的定义, 我们有如下熟知的引理.
引理 1. 设 $f,g:\bbR\to\bbR$ 连续, 且 $f(r)=g(r),\ \forall\ r\in\bbQ$, 则 $f\equiv g$.
证明: 由 $\bbQ$ 在 $\bbR$ 中的稠密性, 我们知道对 $\forall\ x\in\bbR$, 存在有理数列 $\sed{r_n}$, 使得 $\dps{\vlm{n}r_n=x}$. 由 $f,g$ 的连续性即知 $$\hj{ f(x)=f\sex{\vlm{n}r_n} =\vlm{n}f(r_n) =\vlm{n}g(r_n)=g\sex{\vlm{n}r_n}=g(x). }$$ 因此, $f$ 与 $g$ 恒等.
上述定理在数学分析中起着重要的作用, 比如 [1] 第 2.4 节求解满足特定函数方程的连续函数时, 就是先求该函数在有理点的值, 从而知道该函数在任一实数上的值. 这就确定了该连续函数.
一个自然的问题就是: 对一般的拓扑空间 $X,Y$, $D\subset X$ 在 $X$ 中稠密, $f,g: X\to Y$ 是连续映射. $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$ 能否推出 $f$ 与 $g$ 恒等?
我们将证明如果 $X$ 是 $A_1$ 空间或者 $Y$ 是 $T_2$ 空间, 则结论成立.
定理 1. 设 $X,Y$ 是拓扑空间, $D$ 是 $X$ 的稠密子集, 也即 $\bar D=X$. 再设 $f,g:X\to Y$ 都是连续映射, $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$. 如果 $X$ 是 $A_1$ 空间, 则 $f\equiv g$.
定理 2. 设 $X,Y$ 是拓扑空间, $D$ 是 $X$ 的稠密子集, 也即 $\bar D=X$. 再设 $f,g:X\to Y$ 都是连续映射, $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$. 如果 $Y$ 是 $T_2$ 空间, 则 $f\equiv g$.
注记. 当 $Y$ 是度量空间时, 定理 2 就是 [2] 定理 5.2.1.
我们将在第 2 节和第 3 节分别证明定理 1 和定理 2. 在此之前, 我们先回忆以下概念及性质 (参见 [2] 第一、二、五、六章).
设 $X$ 是一个集合, $\scrT$ 是 $X$ 的子集族, 如果 $\vno,X\in \scrT$, $\scrT$ 对有限交和任意并封闭, 则称 $\scrT$ 是 $X$ 上的一个拓扑. $X$ 赋以 $\scrT$ 后称为拓扑空间. 对 $x\in X$, $U\subset X$, 若 $\exists\ O\in\scrT$, 使得 $x\in O\subset U$, 则称 $U$ 是 $x$ 的一个邻域. $x$ 处的所有邻域构成的集族记作 $\scrU_x$. 若 $\scrU_x$ 的一个子族 $\scrV_x$ 满足 $\forall\ U\in\scrU_x,\ \exists\ V\in\scrV_x,\st x\in V\subset U$, 则称 $\scrV_x$ 是 $x$ 处的一个邻域基. 对 $x\in X$, $A\subset X$, 若对 $x$ 的任一邻域 $U$, 都有 $U\cap (A\bs \sed{x})\neq \vno$, 则称 $x$ 是 $A$ 的凝聚点. $A$ 的凝聚点全体和 $A$ 的并集称为 $A$ 的闭包, 记作 $\bar A$. 这样, $x\in \bar A$ 当且仅当对 $x$ 的任一邻域 $U$, 都有 $U\cap A\neq \vno$.
设 $X,Y$ 都是拓扑空间, 它们的拓扑分别记为 $\scrT_X$, $\scrT_Y$, $f:X\to Y$ 是一个映射. 若对 $\forall\ O\in \scrT_Y$, 都有 $f^{-1}(O)\in\scrT_X$, 则称 $f:X\to Y$ 是连续映射. 对 $x\in X$, 若对 $\forall\ U\in\scrU_{f(x)}$, 都有 $f^{-1}(U)\in\scrU_x$, 则称 $f$ 在 $x$ 处连续. $f:X\to Y$ 连续当且仅当 $f$ 在任一 $x\in X$ 处连续.
设 $A$ 是一个集合, 若 $A$ 与正整数集之间存在一个一一映射, 则称 $A$ 是可数集.
有了上面的准备, 我们可以定义 $A_1$ 空间 (满足第一可数性公理的空间) 和 $T_2$ 空间 (Hausdorff 空间). 设 $X$ 是拓扑空间, 若 $\forall\ x\in X$, $x$ 处都有一个可数的邻域基, 则称 $X$ 是 $A_1$ 空间. 若对 $\forall\ x,y\in X$, $x\neq y$, 都存在 $U\in\scrU_x,\ V\in\scrU_x$, 使得 $U\cap V=\vno$, 则称 $X$ 是 $T_2$ 空间. 2.
2. 定理 1 的证明
本节, 我们给出定理 1 的证明. 我们要利用如下两个结论.
引理 2. ([2] 定理 5.1.10) 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $A\subset X$. 则点 $x\in X$ 是集合 $A$ 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合 $A\bs \sed{x}$ 中有一个序列收敛于 $x$.
类似于引理 2 的证明, 注意到 $x\in \bar A\lra x$ 的任一邻域 $U$, $U\cap A\neq \vno$, 我们有
引理 3. 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $A\subset X$. 则点 $x\in \bar A$ 的充分必要条件是在集合 $A$ 中有一个序列收敛于 $x$. 在 $A_1$ 空间中, 我们有类似于数学分析中归结原理的如下结果.
引理 4. ([2] 定理 5.1.11) 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, 其中 $X$ 满足第一可数性公理, $x\in X$, 则映射 $f:\ X\to Y$ 在点 $x\in X$ 处连续的充分必要条件是: 如果 $X$ 中的序列 $\sed{x_n}$ 收敛于 $x$, 则 $Y$ 中的序列 $\sed{f(x_n)}$ 收敛于 $f(x)$. 有了以上引理, 我们现在可以证明定理 1. 由 $\bar D=X$ 及引理 3 知 $$\hj{ x\in X&\lra x\in \bar D\\ &\lra \exists\ d_n\in D,\st \vlm{n}d_n=x. }$$ 因为 $f$ 与 $g$ 在 $D$ 上相等, 而 $f(d_n)=g(d_n)$. 由 $f$ 的连续性及引理 4, 我们知 $$\hj{ f(x)=\vlm{n}f(d_n)=\vlm{n}g(d_n)=g(x). }$$ 这就证明了 $f$ 与 $g$ 恒等.
3. 定理 2 的证明
本节, 我们给出定理 2 的证明. 我们采用反证法. 若 $f$ 与 $g$ 不恒等, 则 $\exists\ x\in X$, 使得 $f(x)\neq g(x)$. 因 $Y$ 是 $T_2$ 空间, 而 $\exists\ U\in\scrU_{f(x)}$, $V\in\scrU_{g(x)}$, 使得 $U\cap V=\vno$. 因为 $f,g$ 都连续, 我们知 $f^{-1}(U)\in\scrU_x$, $g^{-1}(V)\in\scrU_x$. 由邻域系的性质即知 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\in\scrU_x$. 再由 $\bar D=X$, 我们得到 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\cap D\neq \vno$. 设 $d$ 为 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\cap D$ 的一个元素, 则 $d\in f^{-1}(U)\ra f(d)\in U$; $d\in g^{-1}(V)\ra g(d)\in V$; $d\in D\ra f(d)=g(d)$. 这样, $f(d)=g(d)\in U\cap V$. 这与 $U\cap V=\vno$ 矛盾. 故有结论.
参考文献
[1] 裴礼文编.数学分析中的典型问题与方法 第2版[M].北京：高等教育出版社.2006: 174-183.
[2] 熊金城编.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社.2011.
Generalization of a theorem in mathematical analysis to point set topology
ZHANG Zujin, ZHANG Chengrong, Chen Yuan, Hu Yanling
(School of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University, Ganzhou 341000, China)
Abstract: For two real functions, if they are identical on the rational numbers, then they are equal. This can be extended to the continuous map between general topological spaces. Keywords: continuous map, dense subset, topological space