01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
 

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

 

name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15
b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11
c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11
d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10
e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6

 

 

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是actionscript3 的代码

 

[java] view plain copy

 
  1. public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array  
  2. {  
  3.     var bagMatrix:Array=[];  
  4.     var i:int;  
  5.     var item:PackageItem;  
  6.     for(i=0;i<bagItems.length;i++)  
  7.     {  
  8.         bagMatrix[i] = [0];  
  9.     }  
  10.     for(i=1;i<=bagSize;i++)  
  11.     {  
  12.         for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)  
  13.         {  
  14.             item = bagItems[j] as PackageItem;  
  15.             if(item.weight > i)  
  16.             {  
  17.                 //i背包转不下item  
  18.                 if(j==0)  
  19.                 {  
  20.                     bagMatrix[j][i] = 0;  
  21.                 }  
  22.                 else  
  23.                 {  
  24.                     bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];  
  25.                 }  
  26.             }  
  27.             else  
  28.             {  
  29.                 //将item装入背包后的价值总和  
  30.                 var itemInBag:int;  
  31.                 if(j==0)  
  32.                 {  
  33.                     bagMatrix[j][i] = item.value;  
  34.                     continue;  
  35.                 }  
  36.                 else  
  37.                 {  
  38.                     itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;  
  39.                 }  
  40.                 bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)  
  41.             }  
  42.         }  
  43.     }  
  44.     //find answer  
  45.     var answers:Array=[];  
  46.     var curSize:int = bagSize;  
  47.     for(i=bagItems.length-1;i>=0;i–)  
  48.     {  
  49.         item = bagItems[i] as PackageItem;  
  50.         if(curSize==0)  
  51.         {  
  52.             break;  
  53.         }  
  54.         if(i==0 && curSize > 0)  
  55.         {  
  56.             answers.push(item.name);  
  57.             break;  
  58.         }  
  59.         if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)  
  60.         {  
  61.             answers.push(item.name);  
  62.             curSize -= item.weight;  
  63.         }  
  64.     }  
  65.     return answers;  
  66. }  

 


PackageItem类

 

 

[java] view plain copy

 
  1. public class PackageItem  
  2. {  
  3.     public var name:String;  
  4.     public var weight:int;  
  5.     public var value:int;  
  6.     public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)  
  7.     {  
  8.         this.name = name;  
  9.         this.weight = weight;  
  10.         this.value = value;  
  11.     }  
  12. }  


测试代码

 

 

[java] view plain copy

 
    1. var nameArr:Array=[\’a\’,\’b\’,\’c\’,\’d\’,\’e\’];  
    2. var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];  
    3. var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];  
    4. var bagItems:Array=[];  
    5. for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)  
    6. {  
    7.     var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);  
    8.     bagItems[i]=bagItem;  
    9. }  
    10. var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);  

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