本篇文章是对18年11月19日，自己写的L1、L2范数文章的进一步总结，之前在学习正则化，了解到了L1和L2正则化，这里记录一下。

目录：

1. 什么是正则化

2. 如何理解正则化

3. 正则化的作用

第一个问题，什么是正则化？

正则化就是在损失函数后加上一个正则化项（惩罚项），其实就是常说的结构风险最小化策略，即经验风险（损失函数）加上正则化。一般模型越复杂，正则化值越大。

正则化项是用来对模型中某些参数进行约束

正则化的一般形式：

其中，第一项是损失函数（经验风险），第二项是正则化项，λ>=0，是调整损失函数和正则化项的系数

在回归问题中，常见的正则化有L1正则化和L2正则化

• L1正则化（L1范数）指的是权重参数W的各项元素绝对值之和，即，记作

   

• L2正则化（L2范数）权重参数W的各项元素的平方和

对于线性回归模型，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

第二个问题，如何理解正则化？

正则化其实就是带约束条件的优化问题，为什么要正则化，就是对目标函数加上一个约束条件，这类似于带约束条件的朗格朗日乘子法。

即目标函数为：

结构风险最小化策略转化为求目标函数的最小值问题

第三个问题，正则化有什么用？

上一篇文章曾经讲过：

• L1正则化可以产生稀疏权重矩阵，即大部分w为0，只有少数w非0，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合

今天就主要介绍为什么L1、L2能够完成这样的功能。

 1. L1正则化可以产生稀疏权重矩阵，用于特征选择

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。

 假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项,是正则化系数。当我们在原始损失函数后添加L1正则化项时，相当于对做了一个约束。令，则，此时我们的任务变成在约束下求出取最小值的解(w,b)。考虑二维的情况，即只有两个权值和，此时对于梯度下降法，求解的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数也可以在的二维平面上画出来。如下图：

这里的都是模型的参数，是要优化的目标参数，那个四边形边框，其实就是解空间，正如上面所说，这个时候，解空间“缩小了”（被约束啦），你只能在这个缩小了的空间中，寻找使得目标函数最小的。再看看那些圆圈，每一个圆圈上，可以取无数个，这些有个共同的特点，用它们计算的目标函数的值是相等的。注意L1构成的区域一定是个四边形。自己在纸上画画

在图中，当等值线与图形首次相交的地方就是最优解。上图中与在的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是。可以直观想象，因为函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），与这些角接触的机率会远大于与其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

 2. L2可以防止模型过拟合（L2正则化也叫权重衰减）

过拟合是指学习时模型的参数过多，模型过于复杂。模型对于训练数据预测得很好，但对于未知数据预测效果很差，即训练误差小，预测误差大，过拟合时，模型系数会很大，因为模型要顾及每一个点，在很小的空间里函数值变化剧烈，可见偏导数会很大，模型系数大。所以L2正则化也叫权重衰减，减小模型系数，减小模型复杂度，防止过拟合现象。

L2正则化损失函数为：

C0代表原始的损失函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此C0与L相交时使得或等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则项为什么可以拟制过拟合overfiting呢

因为L2正则化项可以获得很小的权重系数，减小模型的复杂度

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

此外，我们注意，正则化因子，也就是里面的那个lamda，如果它变大了，说明目标函数的作用变小了，正则化项的作用变大了，对参数的限制能力加强了，这会使得参数的变化不那么剧烈，直接的好处就是避免模型过拟合。λ越大，由推导公式可知，权重系数w越小，其实就是图中解空间越小，四边形／圆 越来越小，越来越靠近原点，值也就越小