傅里叶------傅里叶级数
形式
周期函数的无穷级数表示(sin,cos)。
一个周期为
2
l
2l
2l的周期函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
π
x
l
+
b
n
s
i
n
n
π
x
l
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l})
f(x)=a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)
有了这样的形式，只要确定
a
0
,
a
n
,
b
n
a_0,a_n,b_n
a0,an,bn就可以确定其表示。
先给出
a
0
,
a
n
,
b
n
a_0,a_n,b_n
a0,an,bn的表示：
a
0
=
1
2
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
d
x
a_0=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)dx
a0=2l1∫−llf(x)dx
a
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
c
o
s
n
π
x
l
d
x
a_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx
an=l1∫−llf(x)coslnπxdx (n>0)
b
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
s
i
n
n
π
x
l
d
x
b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx
bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx (n>0)
条件
狄里赫利条件
- 在任何周期内,f(x)需绝对可积;
- 在任一有限区间中,f(x)只能取有限个最大值或最小值;
- 在任何有限区间上,f(x)只能有有限个第一类间断点。
满足条件的函数才能进行傅里叶级数展开。
周期
简化一下，我们讨论
c
o
s
n
π
x
cosn\pi x
cosnπx的周期表示，这里的n>0，最小的就是
c
o
s
π
x
cos\pi x
cosπx，其周期为2，很简单可以求出其余的
c
o
s
n
π
x
cosn\pi x
cosnπx的周期为：
1
,
2
3
,
1
2
,
2
5
,
1
3
.
.
.
.
.
.
.
1,\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{1}{3}…….
1,32,21,52,31.......但是他们有一个共有的大周期为2。同理关于
s
i
n
π
x
sin\pi x
sinπx我们也能得到相同的结论。进一步我们把之前的
f
(
x
)
f(x)
f(x)周期设为2，即
l
l
l为1。那么所有的sin，cos的周期与
f
(
x
)
f(x)
f(x)都能相应的对应。也就是说上文中的
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
π
x
+
b
n
s
i
n
n
π
x
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosn\pi x+b_nsinn\pi x)
f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnπx+bnsinnπx)累加形式，其实是若干个与
f
(
x
)
f(x)
f(x)同周期的cos(偶函数)，sin(奇函数)的组合表示(这里的
l
l
l为1)。同样将
l
l
l取其他值也可以得到相同的结论。
正交
正交在线代中也有正交向量等概念，它往往与空间中的垂直或者…与0有关。
还是从简单的来，我们来看看一些积分：
∫
−
π
π
s
i
n
x
s
i
n
2
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}sinxsin2xdx
∫−ππsinxsin2xdx，
∫
−
π
π
s
i
n
2
x
c
o
s
2
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}sin2xcos2xdx
∫−ππsin2xcos2xdx，
∫
−
π
π
c
o
s
2
x
s
i
n
3
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}cos2xsin3xdx
∫−ππcos2xsin3xdx，
∫
−
π
π
c
o
s
2
x
c
o
s
3
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}cos2xcos3xdx
∫−ππcos2xcos3xdx…积化和差转化一下有：
∫
−
π
π
s
i
n
x
s
i
n
2
x
d
x
=
∫
−
π
π
−
1
2
[
c
o
s
(
2
x
+
x
)
−
c
o
s
(
2
x
−
x
)
]
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}sinxsin2xdx=\int^\pi_{-\pi}-\frac{1}{2}[cos(2x+x)-cos(2x-x)]dx=0
∫−ππsinxsin2xdx=∫−ππ−21[cos(2x+x)−cos(2x−x)]dx=0
∫
−
π
π
s
i
n
2
x
c
o
s
2
x
d
x
=
∫
−
π
π
1
2
[
s
i
n
(
2
x
+
2
x
)
+
s
i
n
(
2
x
−
2
x
)
]
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}sin2xcos2xdx=\int^\pi_{-\pi}\frac{1}{2}[sin(2x+2x)+sin(2x-2x)]dx=0
∫−ππsin2xcos2xdx=∫−ππ21[sin(2x+2x)+sin(2x−2x)]dx=0
∫
−
π
π
c
o
s
2
x
s
i
n
3
x
d
x
=
∫
−
π
π
1
2
[
s
i
n
(
2
x
+
3
x
)
−
s
i
n
(
2
x
−
3
x
)
]
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}cos2xsin3xdx=\int^\pi_{-\pi}\frac{1}{2}[sin(2x+3x)-sin(2x-3x)]dx=0
∫−ππcos2xsin3xdx=∫−ππ21[sin(2x+3x)−sin(2x−3x)]dx=0
∫
−
π
π
c
o
s
2
x
c
o
s
3
x
d
x
=
∫
−
π
π
1
2
[
c
o
s
(
2
x
+
3
x
)
+
c
o
s
(
2
x
−
3
x
)
]
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}cos2xcos3xdx=\int^\pi_{-\pi}\frac{1}{2}[cos(2x+3x)+cos(2x-3x)]dx=0
∫−ππcos2xcos3xdx=∫−ππ21[cos(2x+3x)+cos(2x−3x)]dx=0
于是我们可以有这样的结论：对于不同的n与m(都是大于零的整数)
∫
−
π
π
s
i
n
n
x
s
i
n
m
x
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}sinnxsinmxdx=0
∫−ππsinnxsinmxdx=0，
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
c
o
s
m
x
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}cosnxcosmxdx=0
∫−ππcosnxcosmxdx=0，
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
s
i
n
m
x
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}cosnxsinmxdx=0
∫−ππcosnxsinmxdx=0特殊的
∫
−
π
π
c
o
s
m
x
s
i
n
m
x
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}cosmxsinmxdx=0
∫−ππcosmxsinmxdx=0，不同周期的sin，cos间在其公共周期(
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π])上积分为0，相同周期的sin与cos的积分也为0。于是我们浅显的得到一个关于0的结论。
系数
通过上面的正交，我们可以得到相应的系数
a
n
,
b
n
a_n,b_n
an,bn。
先简化一下，假设
a
0
a_0
a0为0的
f
(
x
)
f(x)
f(x)，并且其周期为
2
π
2\pi
2π，于是
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)
f(x)=∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)
对于
a
n
a_n
an相应的只要乘以对应的
c
o
s
n
x
cosnx
cosnx并在
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]上积分有：
∫
−
π
π
f
(
x
)
c
o
s
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
c
o
s
n
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}f(x)cosnxdx=\int^\pi_{-\pi}\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)cosnxdx
∫−ππf(x)cosnxdx=∫−ππ∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)cosnxdx
=
∫
−
π
π
a
n
c
o
s
n
x
∗
c
o
s
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
a
n
2
[
c
o
s
(
n
x
+
n
x
)
+
c
o
s
(
0
)
]
d
x
=\int^\pi_{-\pi}a_ncosnx*cosnxdx=\int^\pi_{-\pi}\frac{a_n}{2}[cos(nx+nx)+cos(0)]dx
=∫−ππancosnx∗cosnxdx=∫−ππ2an[cos(nx+nx)+cos(0)]dx
=
a
n
π
=a_n\pi
=anπ
于是有
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
c
o
s
n
x
d
x
a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)cosnxdx
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx (n>0)
同样的对于
b
n
b_n
bn有：
∫
−
π
π
f
(
x
)
s
i
n
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
s
i
n
n
x
d
x
\int^\pi_{-\pi}f(x)sinnxdx=\int^\pi_{-\pi}\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)sinnxdx
∫−ππf(x)sinnxdx=∫−ππ∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)sinnxdx
=
∫
−
π
π
b
n
s
i
n
n
x
∗
s
i
n
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
−
b
n
2
[
c
o
s
(
n
x
+
n
x
)
−
c
o
s
(
0
)
]
d
x
=\int^\pi_{-\pi}b_nsinnx*sinnxdx=\int^\pi_{-\pi}-\frac{b_n}{2}[cos(nx+nx)-cos(0)]dx
=∫−ππbnsinnx∗sinnxdx=∫−ππ−2bn[cos(nx+nx)−cos(0)]dx
=
b
n
π
=b_n\pi
=bnπ
于是有
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
s
i
n
n
x
d
x
b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)sinnxdx
bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx (n>0)
对于不同周期只要将对应的
2
π
2\pi
2π进行缩放就可以了。最终有(
2
l
2l
2l为周期)：
a
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
c
o
s
n
π
x
l
d
x
a_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx
an=l1∫−llf(x)coslnπxdx (n>0)
b
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
s
i
n
n
π
x
l
d
x
b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx
bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx (n>0)
偏置
在求解系数的时候我们仅仅考虑了sin，cos的组合情况，对于
f
(
x
)
f(x)
f(x)也可能存在竖直方向的平移偏置，这就是
a
0
a_0
a0的作用了，先证明一下对于上面推导在
a
0
a_0
a0不为0时的正确性。很简单的有：
a
0
∫
−
π
π
s
i
n
n
x
d
x
=
a
0
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
d
x
=
0
a_0\int^\pi_{-\pi}sinnxdx=a_0\int^\pi_{-\pi}cosnxdx=0
a0∫−ππsinnxdx=a0∫−ππcosnxdx=0(n是大于0的整数)
所以不影响系数
a
n
,
b
n
a_n,b_n
an,bn的求解。将
∫
−
π
π
s
i
n
n
x
d
x
=
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
d
x
=
0
\int^\pi_{-\pi}sinnxdx=\int^\pi_{-\pi}cosnxdx=0
∫−ππsinnxdx=∫−ππcosnxdx=0提出来，之后对
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)
f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)两边同时积分得：
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
a
0
d
x
=
2
π
a
0
\int^\pi_{-\pi}f(x)dx=\int^\pi_{-\pi}a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)dx=\int^\pi_{-\pi}a_0dx=2\pi a_0
∫−ππf(x)dx=∫−ππa0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)dx=∫−ππa0dx=2πa0
于是有
a
0
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
a_0=\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)dx
a0=2π1∫−ππf(x)dx。
对于不同周期进行缩放。最终有(
2
l
2l
2l为周期)：
a
0
=
1
2
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
d
x
a_0=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)dx
a0=2l1∫−llf(x)dx
复指
核心是利用欧拉公式：
e
i
x
=
c
o
s
x
+
i
s
i
n
x
e^{ix}=cosx+isinx
eix=cosx+isinx来代替级数中的三角函数。将原先的级数变为复指数形式，于是对于sinx与cosx有如下的表示：（取i与-i联立）
c
o
s
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
cosx=2eix+e−ix ,
s
i
n
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
sinx=2ieix−e−ix
还是以简单的2
π
\pi
π为周期，原先级数
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)
f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)就转化为
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
e
i
n
x
+
e
−
i
n
x
2
+
b
n
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
2
i
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i})
f(x)=a0+∑n=1∞(an2einx+e−inx+bn2ieinx−e−inx)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
−
i
b
n
2
e
i
n
x
+
a
n
+
i
b
n
2
e
−
i
n
x
)
=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx})
=a0+∑n=1∞(2an−ibneinx+2an+ibne−inx)
进一步有
b
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
s
i
n
n
π
x
l
d
x
b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx
bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx (n>0)，其中
b
−
n
=
−
b
n
b_{-n}=-b_n
b−n=−bn
上面公式的形式有：
f
(
x
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
−
i
b
n
2
e
i
n
x
)
+
∑
n
=
−
∞
−
1
(
a
n
−
i
b
n
2
e
i
n
x
)
f(x)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx})+\sum^{-1}_{n=-\infty}(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx})
f(x)=a0+∑n=1∞(2an−ibneinx)+∑n=−∞−1(2an−ibneinx)
进一步化简，定义
c
n
c_n
cn有
c
0
=
a
0
c_0=a_0
c0=a0，
c
n
=
a
n
−
i
b
n
2
c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}
cn=2an−ibn，n取整数。
最终得到傅里叶级数的复指数形式有：
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
n
=
∞
(
c
n
e
i
n
x
)
f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=-\infty}(c_ne^{inx})
f(x)=∑n=−∞n=∞(cneinx)，对于不同的周期
2
l
2l
2l有：
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
n
=
∞
(
c
n
e
i
n
π
x
l
)
f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=-\infty}(c_ne^\frac{in\pi x}{l})
f(x)=∑n=−∞n=∞(cnelinπx)