高等数学 – 无穷级数

整理一些无穷级数相关的知识点

1 收敛级数

• 极限存在的条件

  • （夹逼准则）如果数列 \(\{xn\}\) ，\(\{y_n\}\) ，\(\{z_n\}\) 满足下列条件：
    （1）从某项起，即 \(\exist n_0\in \N^+\) ，当 \(n>n_0\) 时，有 \(x_n<y_n<z_n\) ；
    （2）\(\lim\limits_{n\to \infin}x_n=\lim\limits_{n\to \infin}z_n=a\) ；
    则 \(\{y_n\}\) 的极限存在，且 \(\lim\limits_{n\to \infin}y_n=a\) 。
  • 单调有界数列必有极限。
  • （柯西审敛原理）数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，存在正整数 \(N\) ，使得当 \(m>N,n>N\) 时，有 \(|x_n-x_m|<\varepsilon\) 。

• 级数收敛的定义（极限与收敛的联系）：如果级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i\) 的部分和数列 \(\{s_n\}\) 有极限 \(s\) ，即 \(\lim\limits_{n\to \infin}s_n=s\) ，那么称无穷级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i\) 收敛，这时极限 \(s\) 叫做这级数的和，并写成 \(s=a_1+a_2+…\) 。如果 \(\{s_n\}\) 没有极限，那么称无穷级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i\) 发散。

• 级数收敛的一个必要条件：若有无穷级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n\) 收敛，则有 \(\lim\limits_{n\to \infin}a_n=0\) 。

  证明：记部分和为 \(s_n\) ，且 \(\lim\limits_{n\to \infin}s_n=s\) ，则有 \(\lim\limits_{n\to \infin}a_n=\lim\limits_{n\to \infin}(s_n-s_{n-1})=s-s=0\) 。

• 如果级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}u_n\) 收敛于和 \(s\) ，那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}ku_n\) 也收敛，且收敛于和 \(ks\) 。

• 如果级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}u_n\) 和 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}v_n\) 分别收敛于 \(s\) 和 \(\sigma\) ，则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)\) 收敛，且收敛于 \(s+\sigma\) 。

• 在级数中去掉、加上或改变任意有限项，不改变级数的收敛性。

• 如果级数收敛，则对级数中的项任意加括号后形成的级数仍然收敛，且收敛和不变。

• （收敛的充要条件，柯西审敛原理）对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，总存在正整数 \(N\) ，当 \(n>N\) 时，对任意正整数 \(p\) 有 \(|u_{n+1}+u_{n+1}+…+u_{n+p}|<\varepsilon\) 。

2 正项级数

• 正项级数收敛 \(\iff\) \(s_n\) 有界。
• 若 \(\sum u_n\) 和 \(\sum v_n\) 都是正项级数，且 \(u_n<v_n\) ，则若级数 \(\sum v_n\) 收敛，则级数 \(\sum u_n\) 收敛，若级数 \(\sum u_n\) 发散，则级数 \(\sum v_n\) 发散。（推论：当 \(u_n<kv_n\) 时，也成立。）
• 若 \(\sum u_n\) 和 \(\sum v_n\) 都是正项级数，若 \(\lim\limits_{n\to \infin}\frac{u_n}{v_n}=l,l\ge0\) ，\(\sum v_n\) 收敛，则 \(\sum u_n\) 收敛。若 \(\lim\limits\frac{v_n}{u_n}=l,l>0或l=+\infin\) ，若级数 \(\sum v_n\) 发散，则级数 \(\sum u_n\) 发散。
• （比值审敛法）设 \(\sum u_n\) 为正项级数，若 \(\lim\limits_{n\to \infin}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\) ，则当 \(\rho<1\) 时级数收敛，\(\rho>1\) 时级数发散，\(\rho=1\) 时需要进一步讨论。
• （根值审敛发）设 \(\sum u_n\) 为正项级数，若 \(\lim\limits_{n\to \infin}\sqrt[n]{u_n}=\rho\) ，则当 \(\rho<1\) 时级数收敛，\(\rho>1\) 时级数发散，\(\rho=1\) 时需要进一步讨论。

3 交错级数

• 若交错级数 \(\sum (-1)^{n-1}u_n\) 满足条件：（1）\(u_n\ge u_{n+1}\) ，（2）\(\lim\limits_{n\to \infin}u_n=0\) ，则交错级数收敛，且和 \(s\le u_1\) ，余项 \(r_n\) 满足 \(|r_n|\le u_{n+1}\) 。

4 绝对收敛和条件收敛

• 绝对收敛和条件收敛：对级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n\) ，若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}|a_n|\) 收敛，则称其绝对收敛；若其收敛，但不绝对收敛，则称为条件收敛。

• 绝对收敛\(\implies\)条件收敛：

  证明：
  取 \(v_n=|a_n|+a_n\) ，则有
  \(\begin{cases}
  v_n \ge 0 \\
  v_n \le 2|a_n|
  \end{cases}\)
  故 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}v_n\) 收敛，故 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}(v_n-|a_n|)\) 收敛。
  故得证。

5 幂级数

• 阿贝尔定理：若 \(x=x_0\) 时，幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n\) 收敛，则对所有满足 \(|x|<|x_0|\) 的 \(x\) 有幂级数绝对收敛。反之，若 \(x=x_0\) 时，幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n\) 发散，则对所有满足 \(|x|>|x_0|\) 的 \(x\) 有幂级数发散。

  证明：
  第一个命题，由收敛有 \(\lim\limits_{n\to \infin}a_nx_0^n=0\) ，则有常数 \(M\) 满足 \(|a_nx_0^n|<M\) 。则 \(|a_nx^n|=|a_nx_0^n\frac{x^n}{x_0^n}|<M|\frac{x^n}{x_0^n}|\) 。
  由于 \(M|\frac{x^n}{x_0^n}|\) 为比小于1的等比级数，因此收敛，即绝对收敛。
  第二个命题，\(x=x_0\) 时发散，假设存在 \(x_m>x_o\) ，使 \(x=x_m\) 时收敛，由第一个命题可以得到 \(x=x_0\) 时收敛，与前提矛盾，因此发散。

• 收敛半径：设幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n\) 满足：

  • \(|x|<R\) 时，绝对收敛
  • \(|x|>R\) 时，发散
  • \(|x|=R\) 时，可能收敛也可能发散
    则称 \(R\) 为级数的收敛半径。

• 如果 \(\lim\limits_{n\to \infin}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\) ，其中 \(a_n,a_{n+1}\) 是幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n\) 的相邻两项的系数，则幂级数的收敛半径为 \(R=\begin{cases}
  \displaystyle\frac{1}{\rho}, & \rho\ne 0 \\
  +\infin, & \rho=0 \\
  0, & \rho=+\infin
  \end{cases}\)

6 函数展开成幂级数

• 泰勒中值定理：如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么存在 \(x_0\) 一个邻域，对于该邻域内的任一 \(x\) ，有

其中，\(R_n(x-x_0)=o((x-x_o)^n)\) 称为佩诺亚余项。
若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n+1\) 阶导数，那么 \(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\) ，\(\xi\) 是介于 \(x\) 和 \(x_0\) 之间的某个值。这个余项称为拉格朗日余项。

• 利用泰勒中值定理可以将函数展开成幂级数，设 \(f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+…+a_n(x-x_0)^n\) ，有 \(a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\) ，条件是余项 \(R_n(x-x_0)\) 极限为0 。

7 欧拉公式

• \(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+…\)

• \(\cos x=(\sin x)\’=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+…\)

• \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}+…\)

取 \(z=x+y\text{i}\) ，则可以定义复平面上的指数函数 \(e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+…+\frac{z^n}{n!}+…\) ，取 \(z=y\text{i}\) ，则有 \(e^{y\text{i}}=1+y\text{i}-\frac{y^2}{2!}-\frac{y^3\text{i}}{3!}+\frac{y^4}{4!}+\frac{y^5\text{i]}}{5!}+…=\cos y+i\sin y\) 。
即得到欧拉公式：

8 傅立叶级数

8.1 三角函数系

\(\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,…,\cos nx,\sin nx,…\}\) 称为三角函数系。
从三角函数系中任意取两个不同的函数并乘积，其在 \([-\pi,\pi]\) 上的积分为 \(0\) 。

8.2 展开成傅立叶级数

假设 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的周期函数，且能被展开成三角级数 \(f(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\) 。

两边积分，有
\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{d}x=a_0\pi\) ，即 \(a_0=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{d}x\) 。

两边同乘 \(\cos nx\) ，并积分则有
\(\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\text{d}x=a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 (nx)\text{d}x=a_n\pi\) 。

即有
\(a_n=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\text{d}x,n=0,1,2,…\) 。

两边同乘 \(\sin nx\) ，并积分有
\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\text{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2n=b_k\pi\) 。

即有
\(b_n=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\text{d}x,n=1,2,…\) 。

如果对应 \(a_n,b_n\) 的积分都存在，则系数 \(a_0,a_1,b_1,…\) 叫做傅立叶系数，对应的三角级数 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\) 称为傅立叶级数。

定理（收敛定理）设 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 周期函数，如果满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限极值点
则 \(f(x)\) 的傅立叶级数收敛，且
当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的连续点时，级数收敛于 \(f(x)\)；
当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的间断点时，级数收敛于 \(\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\) 。

例子

• 无穷级数求和时，可以利用求导、积分运算，以及看作是积分的定义式。