考研数学高数公式知识点整理
函数极限与连续
泰勒公式
当\(x\rightarrow x_0\)，有：
f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f\'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f\’\'(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f\’\’\'(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+…+\\\\
\hspace{1cm}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
\end{array}
\]
麦克劳林公式
当\(x_0=0\)时，泰勒展开式的一种特殊情况：
f(0)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f\'(0)}{1!}x+\frac{f\’\'(0)}{2!}x^2+\frac{f\’\’\'(0)}{3!}x^3+…+\\\\
\hspace{1cm}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)
\end{array}
\]
根据麦克劳林展开式，有：
e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x+o(x^3)\hspace{1.5cm}
ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\\\
sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\hspace{2.7cm}
arcsinx=x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\\\\
cosx=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\hspace{1.5cm}
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\\\\
tanx=x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\hspace{2.6cm}
arctanx=x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)
\end{array}
\]
判断是否正负相间技巧：
若图像爆炸式增长，则恒正，\(e^x\)
若图像上下波动或增长缓慢，则正负相间，如：\(sinx,cosx\)
泰勒展开本身就是用展开高阶项的过程，所以高阶复合子函数不用再求导，直接代入就行,如\(e^{x^{50}}=1+x^{50}+(x^{50})^2+…\)
极限推导：
-
\(\large 1^\infty型:\)
\(\begin{array}{l}
I=\lim g(x)^{f(x)}，若g(x)\rightarrow1,f(x)\rightarrow\infty,\\\\则令A=\lim f(x)[g(x)-1],I=e^A
\end{array}\) -
\(\large \frac{0}{0}型:\)
-
\(sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim x\)
-
\(x-sinx\sim \frac16x^3 \hspace{1cm}x-arcsinx=-\frac16x^3\)
-
\(x-tanx\sim -\frac13x^3\hspace{0.8cm}x-arcsinx=\frac13x^3\)
-
\(1-cosx\sim \frac12x^2\hspace{0.8cm}1-cos^{a}x\sim \frac{a}{2}x^2\)
-
\(a^x-1\sim xlna\)
-
洛必达法则
-
-
\(\large \frac{\infty}{\infty}型:\)
- 都是幂指数的形式，可以提出最高次项，极限值就是最高次项的系数之比
- 洛必达法则
比阶：
若\(x \rightarrow 0\)时，\(f(x)\)和\(g(x)\)分别是\(x\)的\(m、n\)阶无穷小，则：
-
\(f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小\)
-
\(若m>n,则\frac{f(x)}{g(x)}是x的m-n阶无穷小\)
-
\(m>n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶无穷小\)
-
\(m=n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶或高于n阶无穷小\)
-
\(\int_{0}^{g(x)}f(t)dt是x的(m+1)n阶无穷小\)
增长速度：
\(x\rightarrow\infty,a<log_ax<x<a^x<x!<x^x\)
洛必达易错点：
- 洛必达结果不存在，则不能使用洛必达
- 分子分母必须连续可导，否则不能使用洛必达
其他结论：
1.\(\begin{cases}
\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n] {a_1^n+a_2^n+…+a_m^n}=max\{a_1,a_2…,a_m\}\\
\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+…+a_m^n}=min\{a_1,a_2…,a_m\}
\end{cases}(a_1…a_m都是非负数)\)
2.\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
3.\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}\quad（a>0）\)
二、数列极限
单调性
导数相关
基本求导公式：
特殊求导：
导数定义
高阶求导公式
扩展：题目可以出成\(f(x,y)\)对\(x\)求n阶偏导
带拉格朗日余项的\(n\)阶泰勒公式
其他结论
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