高等数学 第一章 函数、极限、连续 第一节 函数
（一）、函数的概念以及常见函数
1.函数的概念、
定义1、若对于每个数x∈D，变量y按照一定的规则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)，常称x为自变量，y为因变量，D为定义域
2.一些常用的函数
①符号函数
②取整函数
③狄里克雷函数
表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3
基本不等式
3.复合函数
定义2、设y=f(u)的定义域为Df，u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg,若Df∩Rg≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)和u=g(x)的符合函数，其定义域为{x|x∈Dg，g(x)∈Df}
4.反函数
定义3、设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Ry，若对任意y=Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)，则记为x=f-1(y)并称其为y=f(x)的反函数
- 单调函数一定有反函数（反之不对）
- 在同一坐标系中y=f(x)和x=f-1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称
- f-1[f(x)]=x f[f-1(x)]=x
5.初等函数
定义4、将幂函数（y=xμ）、指数函数（y=ax），对数函数（y=logax），三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx），反三角函数（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx）称为基本初等函数【熟记图像，定义域值域】
（二）、函数的性质
1.单调性
若对于区间I上任意两点x1<x2恒有f(x1)<f(x2)单调增，f(x1)>f(x2)单调减
2.奇偶性
1)设y=f(x)的定义域D关于原点对称，∀x∈D，f(x)=f(x)偶函数，f(x)=-f(-x)奇函数
常见的奇函数：，
2）奇+奇=偶 偶+偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
3)设y=f(x)可导，f(x)是奇函数→f\'(x)是偶函数，f(x)是偶函数→f\'(x)是奇函数
3.周期性
若存在T>0,对于任意x，恒有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数，使上式成立的最小正数T称为最小正周期
- 若y=f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|为周期
- 周期函数的充要条件使在其一个周期上的积分为0
- sinnx当n为奇数的时候T=2π，当n为偶数的时候T=π
- 若y=f(x)以T为周期，则f\'(x)也以T为周期，而积分不一定
4.有界性
若存在M>0,使得对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在x上为有界函数