高等数学 第一章 函数、极限、连续 第二节 极限
(一)、极限的概念
1.数列
∀ε>0,∃N>0，当n>N时，恒有|Xn-A|<ε
原数列有极限⇿部分列都有极限且相等
2.函数
(1)自变量趋向正无穷大
∀ε>0,∃x>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε
(2)自变量趋向负无穷大
∀ε>0,∃x>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ε
(3)自变量趋向无穷大
∀ε>0,∃x>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε
(4)自变量趋向有限值
∀ε>0,∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε
x→x0但x!=x0，如sin(xsin1/x)/xsin1/x不存在，当x=1/nπ的时候无意义
分段函数要讨论在x0+和x0–的存在情况，e∞限要讨论正无穷和负无穷的情况
(二)、极限的性质
(1)有界性
①数列：如果数列{xn}收敛(xn→a)，那么数列{xn}一定有界
②函数：若在x趋向x0的时候极限f(x)存在，则f(x)在x0某去心邻域内有界
(2)保号性
①数列：设
Ⅰ若A＞0(或A<0)，则存在N>0,当n>N时，xn>0(或xn<0)
Ⅱ若存在N＞0，当n>N时，xn≥0(或xn≤0)，则A≥0(或A≤0)
②函数：设
Ⅰ若A＞0(或A<0)，则存在δ>0,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)
Ⅱ若存在δ>0，当x∈U(x0,δ)时，f(x)≥0(或f(x)≤0)，则A≥0(或A≤0)
(3)极限和无穷小的关系
(三)、极限存在准则
(1)夹逼准则(n项和的极限)
若存在N：当n>N时，xn≤yn≤zn，且
则
(2)单调有界准则（递推关系式的数列极限）
单调有界数列必有极限
(四)、无穷小量
(1)概念
高阶无穷小：若
则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o[β(x)]
低阶无穷小：若
则称α(x)是β(x)的低阶无穷小
同阶无穷小：
则称α(x)是β(x)的同阶无穷小
等价无穷小：
则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记为α(x)~β(x)
特别地，若
则称α(x)是β(x)的k阶无穷小
(2)性质
- 有限个无穷小的和仍是无穷小
- 有限个无穷小的积仍是无穷小
- 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小
(五)、无穷大量
(1)常用的无穷大量比较
①当x→∞时， lnαx<<xβ<<ax,其中α>0,β>0,a>1
②当n→∞时， lnαn<<nβ<<an<<n!,其中α>0,β>0,a>1
(2)性质
- 有限个无穷大的积仍是无穷小
- 无穷大与有界变量的和仍是无穷小
(3)无穷大量和无界变量的关系
①数列{xn}是无穷大量：∀M>0,∃N>0，当n>N时，恒有|xn|>M
②数列{xn}是无界变量：∀M>0,∃N>0，使得|xn|>M
(3)无穷大量和无穷小量的关系
在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大
(六)、求极限
(1)常用的基本极限
(2)“1∞”
若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则limα(x)β(x)=eA
(3)利用等价无穷小
①乘除关系可以换：α(x)~α1(x)，β(x)~β1(x)，则limα(x)/β(x)=limα1(x)/β(x)=limα(x)/β1(x)=limα1(x)/β1(x)
②加减关系在一定条件下可以换α(x)~α1(x)，β(x)~β1(x)，且limα1(x)/β(x)=A≠1，则α(x)-β(x)~α1(x)-β1(x)
且limα1(x)/β(x)=A≠-1，则α(x)+β(x)~α1(x)+β1(x)
常用的等价无穷小：
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1
ax-1~lna (1+x)α-1~αx 1-cosx~x2/2
x-sinx~arcsinx-x~x3/6
tanx-x~x-arctanx~x3/3
x-ln(1+x)~x2/2
(4)洛必达法则
若limf(x)=limg(x)=0(∞)，且f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可到，且g’(x)≠0，limf\'(x)/g\'(x)存在(或无穷)，则limf(x)=limg(x)=limf\'(x)/g\'(x)
①f(x)n阶可导：最多洛必达用到n-1阶，剩下的用导数的定义
②若f(x)n阶连续可导：最多洛必达用到n阶
(5)利用泰勒公式求极限（带有佩亚诺余项的泰勒公式）
其中Rn(x)=o(x-x0)n
几个常用的泰勒公式
(6)利用夹逼原理求极限
常用的不等式：
x/(1+x)<ln(1+x)<x
sinx<x<tanx
x-1<[x]≤x
(7)利用单调有界准则求极限(xn+1=f(xn))
①利用单调有界准则证明极限存在
②设limxn=a，解方程
(8)利用定积分定义求极限