离散傅里叶变换的一些理解和LTE基带信号生成的数学理解

离散傅里叶变换(DFT)：

快速傅里叶变换(FFT)是一种运用蝶形算子计算DFT的方法。

下面是matlab实现代码：

close all; clear;

fs=200;

N=256; %采样freq和数据点数

n=0:N-1;

t=n/fs; %时间序列

% x=0.5*sin(2*pi*15*t); %+2*sin(2*pi*40*t); %实信号

x=4*exp(j*2*pi*15*t)% +2*exp(-j*2*pi*40*t) + 2 + 4*i; %+ 4000+4000*i; %复数信号

y1=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

y2=fftshift(y1);

x_ifft1 = ifft(y1);

x_ifft2 = ifft(y2);

mag1=abs(y1); %求得Fourier变换后的amplitude

mag2=abs(y2);

f1=n*fs/N; %freq序列

f2=n*fs/N-fs/2;

subplot(4,1,1),plot(t,abs(x),\’b\’); %绘出随freq变化的amplitude

xlabel(\’time/s\’);

ylabel(\’amplitude\’);title(\’Figure1: time domain signal\’,\’color\’,\’b\’);grid on;

subplot(4,1,2),plot(f1,mag1,\’b\’); %绘出随freq变化的amplitude

xlabel(\’freq/Hz\’);

ylabel(\’amplitude\’);title(\’Figure2: usual FFT\’,\’color\’,\’b\’);grid on;

subplot(4,1,3),plot(f2,mag1,\’b\’); %绘出随freq变化的amplitude

xlabel(\’freq/Hz\’);

ylabel(\’amplitude\’);title(\’Figure3: FFT without fftshift\’,\’color\’,\’b\’);grid on;

subplot(4,1,4),plot(f2,mag2,\’b\’); %绘出随freq变化的amplitude

xlabel(\’freq/Hz\’);

ylabel(\’amplitude\’);title(\’Figure4: FFT after fftshift\’,\’color\’,\’b\’);grid on;

图中，信号由三个信号叠加起来， 15Hz的信号， -40Hz的信号，(2+4i)的直流分量。

Question 1) 如何理解负频率信号？频率不都应该是正的吗？

频率，原始定义是机械1秒内运动的次数。然而，到了二维平面，它的定义就扩充了，不再局限，而是用来描述旋转的快慢。这里就有了角频率，Ω=2πf，rad/s。既然是旋转，那么就有逆时针旋转和顺时针旋转，以逆时针旋转频率为正，那么顺时针旋转频率就为负频率了。因此，傅里叶变换中，负频率是有物理意义的，不是只有数学意义的东西。

2）为什么实数信号做完fft之后在正负频率轴各有一个峰值，而复数信号只有一个呢？

复信号fft推导：

实信号推导：

3. fftshift的作用？

fftshift移动零频点到频谱中间，重新排列fft,fft2和fftn的输出结果。将零频点放到频谱的中间对于观察傅立叶变换是有用的。图3和图4对比发现，做完fftshift之后，很容易看到-40Hz和15Hz的波峰。

注意，如果想恢复时域信号，这必须是没有做fftshift的值，做fftshift只为便于观察频谱。

4）如果给输入信号加一个相位呢？怎么求这个相位？

实数相位可以用atan2(b, a)来求，复数相位？？？？？？

总结：

假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。

IDFT变换：