雅可比矩阵和行列式（Jacobian）
1，Jacobian matrix and determinant
在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数（就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数）的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。
如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。
2，雅可比矩阵数学定义
假设函数f可以将一个n维向量x⃗\vec{x}（x⃗∈Rn\vec{x}\in R^n）变成一个m维向量f(x⃗\vec{x}), f(x⃗)∈Rmf(\vec{x})\in R^m，
（显然f是由m个实函数组成的函数）
则函数f的雅可比矩阵JfJ_f可以定义如下：
Jf=[∂f∂x1…∂f∂xn]=[∂f1∂x1…∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1…∂fm∂xn]
J_f=
\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} & … & \frac{\partial f}{\partial x_n}
\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & … & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & … & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{matrix}
\right]
对于单个元素而言，可以定义如下：
Jij=∂fi∂xjJ_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}
函数f的雅可比矩阵的其它标记方法为∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn\frac{\partial (f_1, …, f_m)}{\partial (x_1, …, x_n}
3，例子
3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换
3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换
3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换
3.4 三维空间到四维空间的变换
3.5 三维空间到三维空间的变换
4，雅可比矩阵意义
雅可比矩阵Jf(p)J_f(p)就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射（因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换），它代表着函数f在点p处的最优线性逼近，也就是当x足够靠近点p时，我们有
f(x)≈f(p)+Jf(p)∗(x−p)f(x)\thickapprox f(p)+J_f(p)*(x-p)
这跟2维空间中在某点附近线性逼近一段曲线很类似，如果雅可比矩阵只有一个元素，它就等于2维空间中曲线在某点处的导数。
Note: 微分的本质就是线性化，在局部用线性变化代替非线性变化。
5，雅可比行列式意义
代表经过变换后的空间与原空间的面积（2维）、体积（3维）等等的比例，也有人称缩放因子。
Reference
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant