傅里叶分析讲解二

引用：https://www.jianshu.com/p/4d4db620dc9f

1，什么是傅里叶级数

什么是级数？

来自百度百科：级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:
$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+......+1/n^2$
这种由很多项相加的形式就是级数。

对于函数就是如下这个形式：
$f(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)$

如何用级数表达一个周期函数

在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。

image.png

所以我们需要找到一个函数 $g(x)$ 去近似原函数 $f(x)$ ，而且这个 $g(x)$ 有很好的特性，方便去做分析。

法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
看一个动图来理解下这句话。

Fourier_series_square_wave_circles_animation

右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。

下面给出傅里叶级数的数学公式。
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

原函数 $f(x)$ 就由无数个 $\sin,\cos$ 组成的。这个公式理解起来也很简单， $\frac{a_0}{2}$ 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 $\frac{a_0}{2}$ 这个偏移项，当然你也可以理解为 $\frac{a_0}{2}\cos(0x)$ 。
$\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$ 便是无数个sin和cos的组合，其中 $a_n,b_n$ 就相当于上面动图中的 $\frac{4}{\pi },\frac{4}{3\pi },\frac{4}{5\pi },\frac{4}{7\pi }$ 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 $\frac{2\pi n}{T}$ 就相当于动图中的 $\theta$ 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。
$\frac{2\pi n}{T}$ 代表这频率，那其中的 $T$ 代表着什么呢？ $T$ 就是函数 $f(x)$ 的周期， $\frac{2\pi n}{T}$ 的作用就是构建一个周期为 $T$ 的波形，只是随着 $n$ 的增大，波的频率越来越高。例如 $\sin(x),\sin(2x)$ 都是周期 $2\pi$ 的函数，只是 $\sin(2x)$ 的最小周期不在是 $2\pi$ ，所以其频率就变大了。

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这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。

很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。

2，如何求解

还记得我们的目标吗？找出一个函数 $g(x)$ 去近似原函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 样子已经有了：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

我们只需要求出 $a_0,a_n,b_n$ 就可以得到 $g(x)$ 。

所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：

image.png

对于原函数 $f(x)$ 是什么样的我们并不知道，但我们知道 $f(x)$ 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。

$C_1= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_2= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_3= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$......$
$C_n= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

所以求解 $g(x)$ 最简单得方法就是，构建n个 $g(x)=C_n$ 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 $C$ 是常数， $n$ 得数量由自己定义。

当然上面是小学生的解法，大家不要当真。
在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数，令 $T=2\pi$ 带入：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其对应的解为：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$

想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 $2\pi$ 的函数开始。

什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。

正交

$\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \\\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}x_2 \\y_2 \\\end{bmatrix}$ 正交，就表现为 $x_1*x_2+y_1*y_2=0$ ,也就是两个向量的内积等于0

而在函数上的正交就表现为积分的形式:
$\int_a^b f(x)*g(x)dx=0$
其中 $\int_a^b f(x)*g(x)dx$ 就是 $f(x),g(x)$ 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 $a,b$ 区间内正交。

回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。
{ ${0,1,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x).....\sin(nx),\cos(nx) }$ }

任意两个三角函数一定条件下在 $-\pi$ 和 $\pi$ 之间是正交的,详细如下：
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\cos(mx)dx=0$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$

关于其证明网上有很多，这里就不细说了。

下面看如何利用上面的性质来接 $a_0,a_n,b_n$

将函数两边同时积分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)dx$

将 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$
其中 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$ 可以看成 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\sin(nx)dx$ ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于
$\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}2\pi$

于是:
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

下面求解下 $a_n$

将两边乘上 $\cos(mx)$ ，然后两边同时积分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)\cos(mx)dx$

将 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$

同样根据正交性 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \quad, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$ 等于0. 而 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx$ 只有 $n=m$ 的项不为0，其他的也会为0，所以：